Kỳ vọng và phương sai của một biến ngẫu nhiên

Ngày đăng: 07/09/2016, 23:41

Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN Vũ Mạnh Tới Khoa CNTT-Đại học Thủy Lợi 9/2013 Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan 4.1 Kỳ vọng 4.1.1 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X Định nghĩa Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X giá trị trung bình BNN đó, tính theo độ tập trung xác suất, ký hiệu E (X ) µ Cách tính kỳ vọng Cho X biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f (x) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc xf (x) = x1 f (x1 ) + x2 f (x2 ) + · · · + xn f (xn ) + · · · µ = E (X ) = x∈X Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục +∞ xf (x)dx µ = E (X ) = −∞ Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ví dụ 1: Tìm kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối xác suất X f(x) 35 12 35 18 35 35 GIẢI: Ví dụ 2: Tuổi thọ tính theo thiết bị điện tử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f (x) = 20000, x3 0, x > 100 x ≤ 100 Hãy tính tuổi thọ trung bình thiết bị điện tử loại GIẢI: Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ví dụ 3: Thời gian (đơn vị đo: 100 giờ) mà gia đình cho chạy máy hút bụi năm biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ sau:  0 0, y > x, y kh´ac Hãy tìm hệ số tương quan X Y Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 22 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Các ý giảng buổi 4: Định nghĩa ý nghĩa kỳ vọng, phương sai Công thức phương pháp tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên X Công thức phương pháp tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên g (X ) Covariance X Y Hệ số tương quan X Y Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 23 / 23 […]… NGẪU NHIÊN9/2013 22 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Các ý chính trong bài giảng buổi 4: Định nghĩa và ý nghĩa của kỳ vọng phương sai Công thức và phương pháp tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên X Công thức và phương pháp tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên g (X ) Covariance của X và Y Hệ số tương quan X và Y Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI. .. Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 14 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ví dụ 10: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là f (x) = x2 3, 0, x ∈ (−1; 2), x∈ / (−1; 2) Hãy tính phương sai của biến ngẫu nhiên g (X ) = 4X + 3 Ví dụ 11: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối tích lũy F (x) = x ≤0 0, 1−e −2x, x >0 Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên. .. chuẩn của biến ngẫu nhiên X là σ = σ 2 = D(X ) Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 11 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ví dụ 1: Cho BNN X có hàm xác suất f (x) cho bởi X 0 1 2 3 f (x) = P(X = x) 0.2 0.4 0.3 0.1 Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X GIẢI: Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013… Covariance và hệ số tương quan của X và Y Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 21 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên hai chiều có hàm mật độ đồng thời như sau f (x, y ) = e −(x+y ), 0, x > 0, y > 0 x, y kh´ac Hãy tìm hệ số tương quan của X và Y Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU… Covariance của hai biến ngẫu nhiên X và Y được xác định bởi σXY = E (XY ) − µX µY Với µX tính theo biên duyên g (x); µY tính theo biên duyên h(y ) của Y Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 16 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ý nghĩa của Covariance: Covariance của hai biến ngẫu nhiên cho ta biết mối quan hệ của chúng, và dấu của Covariance… 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ví dụ 2: Nhu cầu hàng tuần đối với Pepsi, theo đơn vị 1000 lít, tại một chuỗi các cửa hàng ở một địa phương nào đó, là một biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất như sau f (x) = 2(x − 1), x ∈ (1; 2) 0, x∈ / (1; 2) Hãy tìm phương sai và độ lệch chuẩn của X GIẢI: Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013… tương quan của X và Y Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 18 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan Ví dụ 1: Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào một mục tiêu, xác suất trúng đích của hai người lần lượt là 0,8 và 0,6 Xạ thủ A bắn 2 viên, xạ thủ B bắn 1 viên Gọi X, Y là số viên đạn trúng đích của A và B a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X, Y… xác suất đồng thời của X, Y b) Tính Covariance của X và Y GIẢI: Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 19 / 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan 4.4 Hệ số tương quan Định nghĩa Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với Covariance σXY và các độ lệch chuẩn tương ứng là σX và σY Hệ số tương quan của X và Y là ρXY = Chú ý: σX = σX2 = σXY σX σY E (X.. .Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan 4.2 Phương sai 4.2.1 Phương sai của biến ngẫu nhiên X Định nghĩa Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f(x) và kỳ vọng là µ Phương sai của X là D(X ) = σX2 = E [(X − µ)2 ] = (x − µ)2 f (x) nếu X là rời rạc, x và D(X ) = σX2 = E [(X − µ)2 ] = +∞ (x − µ)2 f (x)dx nếu X liên tục −∞ Công thức tính phương sai thường dùng D(X )… 23 Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan 4.2.2 Phương sai của hàm của biến ngẫu nhiên Cho X là BNN với phân phối xác suất f (x) Phương sai của biến ngẫu nhiên g (X ) là D (g (X )) = σg2 (X ) = E {[g (X ) − µg (X ) ]2 } = [g (x) − µg (X ) ]2 f (x) x nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, và D (g (X )) = σg2 (X ) = E {[g (X ) − µg (X ) ]2 } = +∞ [g (x)−µg (X ) ]2 f (x)dx −∞ nếu X là biến ngẫu nhiên