Lý thuyết các quy tắc tính xác suất toán 11

1. Quy tắc cộng xác suất

– Hai biến cố \ ( A, B \ ) được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra .
+ ) Nếu \ ( A \ cap B = \ emptyset \ ) thì \ ( P \ left ( { A \ cup B } \ right ) = P \ left ( A \ right ) + P \ left ( B \ right ) \ )

+) Nếu \(A,B\) là hai biến cố bất kì thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {A \cap B} \right)\)

Ví dụ: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ \(1\) đến \(9\). Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Giải:

Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có tối thiểu một thẻ chẵn .
Gọi \ ( A \ ) là biến cố “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ ”, \ ( B \ ) là biến cố “ Cả hai thẻ được rút là thẻ chẵn ” .
Khi đó biến cố “ Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn ” là \ ( A \ cup B \ ) .
Do hai biến cố xung khắc nên \ ( P \ left ( { A \ cup B } \ right ) = P \ left ( A \ right ) + P \ left ( B \ right ) \ ) .
Vì có \ ( 4 \ ) thẻ chẵn và \ ( 5 \ ) thẻ lẻ nên ta có :

\(P\left( A \right) = \dfrac{{C_5^1.C_4^1}}{{C_9^2}} = \dfrac{{20}}{{36}}\), \(P\left( B \right) = \dfrac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \dfrac{6}{{36}}\).

Do đó :
\ ( P \ left ( { A \ cup B } \ right ) = P \ left ( A \ right ) + P \ left ( B \ right ) \ ) \ ( = \ dfrac { { 20 } } { { 36 } } + \ dfrac { 6 } { { 36 } } = \ dfrac { { 26 } } { { 36 } } = \ dfrac { { 13 } } { { 18 } } \ ) .

2. Quy tắc nhân xác suất

– Hai biến cố \ ( A, B \ ) được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của \ ( A \ ) không làm ảnh hưởng tác động tới xác suất xảy ra của biến cố \ ( B \ ) .
– Nếu hai biến cố \ ( A, B \ ) độc lập với nhau thì \ ( P \ left ( { AB } \ right ) = P \ left ( A \ right ). P \ left ( B \ right ) \ ) .

Ví dụ: Một chiếc máy có hai động cơ \(I\) và \(II\) hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ \(I\) chạy tốt là \(0,8\) và xác suất để động cơ \(II\) chạy tốt là \(0,7\). Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.

Giải:

Gọi \ ( A \ ) là biến cố : “ Động cơ \ ( I \ ) chạy tốt ”, \ ( B \ ) là biến cố : “ Động cơ \ ( II \ ) chạy tốt ”, \ ( C \ ) là biến cố : “ Cả hai động cơ đều chạy tốt ” .
Ta thấy \ ( A, B \ ) là hai biến cố độc lập với nhau và \ ( C = AB \ ). Theo công thức nhân xác suất ta có :
\ ( P \ left ( C \ right ) = P \ left ( { AB } \ right ) = P \ left ( A \ right ). P \ left ( B \ right ) = 0,8. 0,7 = 0,56 \ ).