Số phức nghịch đảo là gì? Lý thuyết và bài tập vận dụng – VUIHOC

Số phức nghịch đảo là một phần kỹ năng và kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và liên tục Open trong những đề thi. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ giúp những em tổng hợp lý thuyết, công thức số phức nghịch đảo cùng những bài tập vận dụng để từ đó ôn tập thật hiệu suất cao nhé !

1. Số phức nghịch đảo là gì?

Trước khi tìm hiểu và khám phá về số phức nghịch đảo, tất cả chúng ta hãy cùng ôn lại khái niệm số phức .

• Số phức là biểu thức có dạng $z=a+bi$, trong đó $a,b$ là các số nguyên; $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo. Quy ước: $i^{2}=-1$.

  Bạn đang đọc: Số phức nghịch đảo là gì? Lý thuyết và bài tập vận dụng – VUIHOC

• Số phức nghịch đảo, hay còn được gọi là nghịch đảo của số phức, ký hiệu z-1 là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo và số phức có tác dụng bằng 1 : USD z ^ { – 1 }. z = 1 USD

2. Lý thuyết số phức nghịch đảo

Chúng ta trọn vẹn hoàn toàn có thể chứng tỏ được :
USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { \ left | z \ right | ^ { 2 } }. \ bar { z } = \ frac { 1 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } ( a-bi ) USD
Suy ra : USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } ( a-bi ) ( a + bi ) = \ frac { a ^ { 2 } – b ^ { 2 } i ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 1 USD

• Số phức nghịch đảo của USD z = a + bi USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { a + bi } $
• Số nghịch đảo của USD z = a + bi ( z \ neq 0 ) USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { z } = \ frac { \ bar { z } } { \ left | z \ right | ^ { 2 } } $

3. Một số bài tập tìm số phức nghịch đảo và lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức sau: z=3+4i?

Lời giải :
Số phức nghịch đảo của USD z = 3 + 4 i USD là :
USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { 3 + 4 i } = \ frac { 3-4 i } { 3 ^ { 2 } – ( 4 i ) ^ { 2 } } = \ frac { 3-4 i } { 9 + 16 } = \ frac { 3 } { 25 } – \ frac { 4 } { 25 } i USD
Vậy số phức nghịch đảo của số phức USD z = 3 + 4 i USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 3 } { 25 } – \ frac { 4 } { 25 } i USD

Bài 2: Số phức nghịch đảo của $z=2-2i$ là:

1. USD – \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD
2. USD \ frac { 1 } { 4 } – \ frac { 1 } { 4 } i USD
3. USD \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD
4. USD – \ frac { 1 } { 4 } – \ frac { 1 } { 4 } i USD

Lời giải : USD z = 2-2 i \ Rightarrow z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { 2-2 i } = \ frac { 1 + i } { 2 ( 1 – i ) ( 1 + i ) } = \ frac { 1 + i } { 2 ( 1 – i ^ { 2 } ) } = \ frac { 1 + i } { 2.2 } = \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD
Đáp án cần chọn : C. $ \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD

Bài 3: Hãy tìm số nghịch đảo của số phức $z=10+8i$? 

Lời giải :
USD z = 10 + 8 i \ Rightarrow z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { 10 + 8 i } = \ frac { 10-8 i } { ( 10-8 i ) ( 10 + 8 i ) } = \ frac { 10-8 i } { 10 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = \ frac { 10-8 i } { 164 } $
USD \ Rightarrow z ^ { – 1 } = \ frac { 5 } { 82 } – \ frac { 2 } { 41 } i USD
Vậy số phức nghịch đảo của USD z = 10 + 8 i USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 5 } { 82 } – \ frac { 2 } { 41 } i USD

Bài 4: Đáp án nào dưới đây là số phức nghịch đảo của $z=1+3i$:

1. USD \ frac { 1 } { 10 } ( 1-3 i ) USD
2. USD 1-3 i USD
3. USD \ frac { 1 } { \ sqrt { 10 } } ( 1 + 3 i ) USD
4. USD \ frac { 1 } { 10 } ( 1 + 3 i ) USD

Lời giải :
USD z = 1 + 3 i \ Rightarrow \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { 1 + 3 i } = \ frac { 1-3 i } { 1 ^ { 2 } – ( 3 i ) ^ { 2 } } = \ frac { 1-3 i } { 10 } = \ frac { 1 } { 10 } ( 1-3 i ) USD
Đáp án cần chọn : A. $ \ frac { 1 } { 10 } ( 1-3 i ) USD

Bài 5: Số phức nghịch đảo của số phức $z=\sqrt{2}-3i$ là đáp án nào dưới đây:

1. USD \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } + \ frac { 3 } { 11 } i USD
2. USD \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } – \ frac { 3 } { 11 } i USD
3. USD \ frac { 3 } { 11 } + \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } i USD
4. USD \ frac { 3 } { 11 } – \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } i USD

Lời giải :
USD z = \ sqrt { 2 } – 3 i \ Rightarrow \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } – 3 i } = \ frac { \ sqrt { 2 } + 3 i } { 2-9 i ^ { 2 } } = \ frac { \ sqrt { 2 } + 3 i } { 11 } = \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } + \ frac { 3 } { 11 } i USD
Đáp án cần chọn : A. $ \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } + \ frac { 3 } { 11 } i USD

4. Hướng dẫn cách giải số phức nghịch đảo bằng máy tính cầm tay Casio

Để tiết kiệm chi phí thời hạn làm bài, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể giải những bài toán tương quan đến số nghịch đảo của số phức bằng cách sử dụng máy tính cầm tay Casio :

Ví dụ: Tìm số nghịch đảo của số phức sau:  

a, $ \ sqrt { 2 } – i \ sqrt { 3 } $
b, $ \ frac { 1 – i \ sqrt { 3 } } { 7 + 2 i } $
c, USD 5 + i \ sqrt { 3 } $
d, USD i USD
e, USD 1 + 2 i USD
Hướng dẫn :

Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo những bước sau :

Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức

Bước 2: Nhập  $(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}$ hoặc $\frac{1}{(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}}$, bấm phím = ta được kết quả $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$

Bước 3: Ghi kết quả nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của $ \ sqrt { 2 } – i \ sqrt { 3 } $ là $ \ frac { \ sqrt { 2 } } { 5 } + \ frac { \ sqrt { 3 } } { 5 } i USD
b, Thực hiện tựa như ta được hiệu quả : Số phức nghịch đảo của $ \ frac { 1 – i \ sqrt { 3 } } { 7 + 2 i } $ là $ \ frac { 7-2 \ sqrt { 3 } } { 4 } + \ frac { 2 + 7 \ sqrt { 3 } } { 4 } i. $
c, Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo những bước sau :

Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức

Bước 2: Nhập $5+i\sqrt{3}$ hoặc $\frac{1}{5+i\sqrt{3}}$, bấm phím “=” ta được kết quả:

USD \ frac { 5 } { 28 } – \ frac { 3 } { 28 } i USD

Bước 3: Ghi kết quả nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của USD 5 + i \ sqrt { 3 } $ là $ \ frac { 5 } { 28 } – \ frac { 3 } { 28 } i USD
d. Thực hiện tương tự như ta được tác dụng : Số phức nghịch đảo của USD i USD là USD – i. $
e. Thực hiện tương tự như ta được hiệu quả : Số phức nghịch đảo của USD 1 + 2 i USD là $ \ frac { 1 } { 5 } – \ frac { 2 } { 5 } i USD

Để hiểu nhiều hơn về những dạng bài tập số phức đặc biệt quan trọng là số phức nghịch đảo, những em đừng bỏ lỡ bài giảng vô cùng mê hoặc và mê hoặc sau đây của thầy Thành Đức Trung. Chắc chắn trong bài giảng sẽ có những tips giải bài số phức, giải pháp bấm máy số phức cực hay và hữu dụng đó !

Trên đây là tổng hợp khái niệm, định lý số phức nghịch đảo cùng những bài tập và hướng dẫn giải chi tiết cụ thể. Hy vọng những em đã có được nguồn tìm hiểu thêm có ích và hoàn toàn có thể vận dụng để làm những bài kiểm tra. Hãy truy vấn Vuihoc. vn và ĐK thông tin tài khoản để học thêm nhiều dạng bài tập và ôn thi THPT Quốc Gia nhé !