Đường trung trực là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp

Định nghĩa về đường trung trực lớp 7 các bạn đã được học. Vậy các bạn đã nhớ được hết tất cả các tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực của tam giác, các dạng toán thường gặp và cách giải các bài tập về đường trung trực chưa? Dưới đây, chúng tôi đã hệ thống hóa lại kiến thức đường trung trực là gì và các bài toán bổ trợ. Cùng đọc và tham khảo nhé!

Đường trung trực là gì ?

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Cụ thể : Đường trung trực d của đoạn thẳng AB cắt AB tại trung điểm I .

• d vuông góc với AB tại I
• A đối xứng với B qua d

Tính chất đường trung trực

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Định lý thuận: 

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Định lý đảo:

Tập hợp những điểm cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy này

ΔABC cân tại A. Có AM là trung trực của BC
Suy ra AM cũng là trung tuyến của BC .
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác đó

O là giao điểm những đường trung trực của △ ABC, ta có OA = OB = OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp △ ABC

6 dạng bài tập về đường trung trực và chiêu thức giải

Dạng 1 : Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp:

• Để chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa về đường trung trực.

Dạng 2 : Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp:

• Sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.”

Dạng 3 : Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay thế độ dài một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng khác có độ dài bằng nó.
• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4 : Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

• Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác
• Sử dụng định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5 : Bài toán đường trung trực trong tam giác cân

Phương pháp:

• Sử dụng định lý: “Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này”

Dạng 6 : Bài toán tương quan đến đường trung trực so với tam giác vuông

Phương pháp:

• Nhớ rằng: Trong tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền

Hướng dẫn cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB
• Bước 2: Xác định trung điểm I của đoạn thẳng AB
• Bước 3: Kẻ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại I

Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Chia sẻ 1 số ít bài tập về đường trung trực ( có giải thuật )

Bài 1: Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ MH⊥AB. Trên đoạn MH lấy điểm P, gọi E là giao điểm của MB với AP. Gọi F là giao điểm của BP với MA

• a.Chứng minh MH là phân giác của góc AMB
• b.Chứng minh MH là trung trực của đoạn thẳng EF
• c.Chứng minh AF= BE

Bài giải

a. Xét ΔMAH và ΔMBH có HA = HB ( H là trung trực của AB )

b. + ) Lấy E ’ ∊ MB sao cho MF = ME ’
Xét ΔFMP và ΔE ’ MP có
MF = ME ’ ( cạnh lấy điểm E ’ )
góc FMP = góc E’MP ( do góc AMH = góc BMH )
MP cạnh chung
Nên ΔFMP = ΔE ’ MP ( c-g-c )
Suy ra góc FPM = góc E’PM ( 1 )
+ ) Gọi giao điểm của E’F và MH là K

Ta lại có  ΔPHA = ΔPHB (c-g-c)

Suy ra góc APH = góc BPH
Mà góc APH = góc EPM ( đối đỉnh ) và góc BPH = góc FPM ( đối đỉnh )
Suy ra góc EPM = góc FPM ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra góc EPM = góc E’PM hay E ’ trùng với E
Do đó MF = ME ( 3 )
Lại có PF = PE ’ ( ΔFMP = ΔE ’ MP )
Nên PF = PE ( 4 ) ( Do E trùng E ’ )
Từ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) suy ra MH là trung trực của đoạn thẳng EF
c, AF = AM – FM ; BE = BM – EM
Mà AM = BM ( vì M thuộc trung trực AB )
FM = EM ( cmt )
Nên ta suy ra AF = BE

Bài 2: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là trung trực của AC.

• a) Hãy so sánh MA + MB với BC.
• b) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.

Bài giải:

a ) Gọi H là giao điểm của a với AC
∆ MHA = ∆ MHC ( c. g. c ) => MA = MC .
Do đó :
MA + MB = MC + MB .
Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC ( chứng tỏ được NA = NC ) .
Nếu M không trùng với N thì :
MA + MB = MC + MB > BC ( bất đẳng thức trong ∆ BMC ) .
Nếu M trùng với N thì :
MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC .
Vậy MA + MB ≥ BC .
b ) Từ câu a ) ta suy ra : Khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất .

Bài 3: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ∆BDE = ∆CDE.

Bài giải :

D thuộc đường trung trực của BC => DB = DC .
E thuộc đường trung trực của BC => EB = EC. ∆ BDE = ∆ CDE ( c. c. c )

Tham khảo một số ít bài toán về đường trung trực – Tự giải

Bài 1: Cho tam giác △ABC cân tại A. Hai đường trung tuyến CN và BM cắt nhau tại I. Hai tia phân giác trong của B và C cắt nhau tại O. Hai đường trung trực của 2 cạnh AB, AC cắt nhau tại K.

• a) Chứng minh rằng: BM = CN.
• b) Chứng minh rằng OB = OC
• c) Chứng minh 4 điểm A,O, I, K thẳng hàng.

Bài 2: Trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB lấy 2 điểm M và N nằm ở hai nữa hai mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB.

• a) Chứng minh rằng MAN= MBN
• b) Chứng minh MN là tia phân giác của AMB

Bài 3: Cho góc xOy = 50º, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm M sao cho Ox là trung trực của AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trung trực của AM.

• a) Chứng minh rằng OM = ON
• b) Tính số đo MON

Bài 4: Cho 2 điểm A, B nằm trên cùng mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của đường thẳng BC và AC cắt d tại E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.

• a) So sánh MA + MB và AC
• b) Tìm vị trí của M trên d để MA + MB ngắn nhất

Bài 5: Cho ΔABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB,  AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.

• a) ΔABD, ΔACE là tam giác gì?
• b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua các điểm nào trên hình ?

Bài 6: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường trung trực của AC cắt BC tại I, cắt AC tại E.

• a) Chứng minh rằng IC = IB = IA.
• b) Goi M là trung điểm của AI, chứng minh ME = MH
• c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số của đoạn MN và AI

Trên đây là khái niệm đường trung trực là gì cùng những dạng bài tập về đường trung trực của tam giác thường, tam giác cân. Các đặc thù của đường trung trực được ứng dụng rất nhiều vào việc giải những bài toán hình. Đây được coi như công cụ có ích mà nếu bạn ghi nhớ và hiểu những định lý, đặc thù ấy, bạn sẽ trở nên giỏi hơn trong phân môn hình học. Hãy vận dụng những kỹ năng và kiến thức vừa được cung ứng và tự giải những bài tập để thành thạo hơn nhé !