Đường trung trực là gì? Tính chất, dạng bài tập có lời giải từ A – Z

Tiếp tục ở trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về đường trung trực là gì? Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tam giác,..Các dạng bài tập có lời giải chi tiết giúp các bạn hệ thống lại kiến thức của mình nhé

Đường trung trực là gì?

Trong hình học phẳng, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó .

Tính chất đường trung trực

1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

• Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
• Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
• Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2. Tính chất đường trung trực của tam giác

• Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác.
• Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
• Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao tương ứng của đỉnh đối diện với cạnh này.

Tham khảo thêm:

Các dạng bài tập đường trung trực thường gặp

1. Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp: Để chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa về đường trung trực.

Ví dụ 1 : Chứng minh đường thẳng PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN .

P., Q. là giao điểm của hai cung tròn tâm M, N có cùng nửa đường kính nên :
PM = PN ( = nửa đường kính cung tròn ) .
QM = QN ( = nửa đường kính cung tròn ) .
Suy ra P. và Q. cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng MN .
Vậy PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN .

2. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp: Sử dụng định lý: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho : BE = AB. Chứng minh rằng : AD = DE .

Xét tam giác ABD và tam giác EBD, có :
BD là cạnh chung
BE = AB ( đề bài đã cho )
góc ABD = góc DBE ( vì BD là tia phân giác của góc B )
=> Tam giác ABD = tam giác EBD ( c. g. c )
=> AD = DE ( điều phải chứng tỏ ) .

3. Dạng 3 : Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay thế độ dài một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng khác có độ dài bằng nó.
• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ : Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là trung trực của AC .

a) Hãy so sánh MA + MB với BC.
b) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.

a ) Gọi H là giao điểm của a với AC
∆ MHA = ∆ MHC ( c. g. c ) => MA = MC .
Do đó :
MA + MB = MC + MB .
Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC ( chứng tỏ được NA = NC ) .
Nếu M không trùng với N thì :
MA + MB = MC + MB > BC ( bất đẳng thức trong ∆ BMC ) .
Nếu M trùng với N thì :

MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC.

Vậy MA + MB ≥ BC .
b ) Từ câu a ) ta suy ra : Khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất .

4. Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

• Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác
• Sử dụng định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

5. Dạng 5: Bài toán đường trung trực trong tam giác cân

Phương pháp : Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này
Ví dụ : Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng .
Lơi giải :
Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC
⇒ A thuộc đường trung trực của BC .
Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC
⇒ D thuộc đường trung trực của BC
Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC
⇒ E thuộc đường trung trực của BC
Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC
Vậy A, D, E thẳng hàng

6. Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp : Trong tam giác vuông, giao điểm của những đường trung trực là trung điểm cạnh huyền
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6 cm, BC = 8 cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC ?

Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có :
EA = EB = EC
Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được :

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi những bạn hoàn toàn có thể nắm được đường trung trực là gì và những đặc thù để vận dụng vào làm bài tập nhé

Đánh giá bài viết