Đường cao (tam giác).

Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại trực tâm

Trong hình học, đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Giao điểm của đường cao và đáy được gọi là chân của đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Độ dài đường cao được sử dụng để tính diện tích quy hoạnh của một tam giác : diện tích quy hoạnh tam giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy. Vì vậy, đường cao dài nhất vuông góc với cạnh ngắn nhất của tam giác. Các đường cao cũng tương quan đến những cạnh của tam giác qua những hàm lượng giác .

Độ dài đường cao thường được ký hiệu là chữ h (viết tắt cho từ tiếng Anh height; có nghĩa là “chiều cao”) và thường viết xuống dưới là chữ đại diện cho độ dài của cạnh đường cao đó cắt. Ví dụ, đường cao vuông góc cạnh c sẽ được ký hiệu là

h

c

{\displaystyle h_{c}}

.

Trong một tam giác cân (tam giác có hai cạnh bằng nhau), có đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến[1] ứng với cạnh đáy đó. Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.

Trong một tam giác vuông (tam giác có một góc bằng 90°), đường cao có đáy là một cạnh góc vuông trùng với cạnh góc vuông còn lại. Đường cao với đáy là cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài lần lượt là p và q, ta có quan hệ:

h

c

=

p
q

{\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}

(định lý trung bình nhân hình học)

Độ dài đường cao Có nhiều cách để tính độ dài đường cao, cách đơn thuần để tính độ dài đường cao khi có độ dài ba cạnh là dùng công thức Heron .

Với a, b, c là độ dài các cạnh; p là nửa chu vi tam giác:

p
=

(
a
+
b
+
c
)

2

{\displaystyle p={\frac {(a+b+c)}{2}}}

Xem thêm: 100 cap về bầu trời, stt về bầu trời hay nhẹ nhàng và ý nghĩa

” Trực tâm ” chuyển hướng đến đây. Đừng nhầm lẫn với Hệ thống trực giaoBa đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác .Ta có đặc thù : ” Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại ” .Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của nó .

Tính chất:

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối lập của cạnh đó .Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ những đỉnh A, B, C đến những cạnh BC, AC, AB tương ứng .

Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Sách tìm hiểu thêm.

• Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 20, 1928.
• Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.
• Bogomolny, A. “The Altitudes.” http://www.cut-the-knot.org/triangle/altitudes.html Lưu trữ 2008-07-04 tại Wayback Machine.
• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. “More on the Altitude and Orthocentric Triangle.” §2.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 9 and 36-40, 1967.