Định lý Viète.

adnhacly

3 năm trước

Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau :

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình:

a x 2 + b x + c = 0, a ≠ 0 { \ displaystyle ax ^ { 2 } + bx + c = 0, \, a \ neq 0 }

thì:

{ x 1 + x 2 = S = − b / a x 1 x 2 = P = c a {\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}} Bạn đang đọc: Định lý Viète. <img decoding="async" alt="{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34e42243e93f19c61a35c807a77331f842efe3c" width="9901.4" height="2659.1">

Phương trình đa thức bất kể.

Cho phương trình :

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. .. + a n x n = 0, a n ≠ 0 { \ displaystyle a_ { 0 } + a_ { 1 } x + a_ { 2 } x ^ { 2 } + … + a_ { n } x ^ { n } = 0, \, a_ { n } \ neq 0 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c16aaa68047c8b30d11f04b26f9c287ddd48b9" width="17373.8" height="1367.4">

Cho x1, x2,…, xn là n nghiệm của phương trình trên, thì:

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. .. + a n x n = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ). .. ( x − x n ) { \ displaystyle a_ { 0 } + a_ { 1 } x + a_ { 2 } x ^ { 2 } + … + a_ { n } x ^ { n } = a ( x-x_ { 1 } ) ( x-x_ { 2 } ) … ( x-x_ { n } ) \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41916e8f8a44b630df0ba8602a557465c5ccf5d9" width="26277.7" height="1367.4">

Nhân hàng loạt vế phải ra, tất cả chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau :

{ a = a n − a ( x 1 + x 2 +. .. + x n ) = a n − 1 … … ( − 1 ) n − 1 a ( x 1 x 2. .. x n − 1 + x 1 x 2. .. x n − 2 x n +. .. + x 2 x 3. .. x n ) = a 1 ( − 1 ) n a ( x 1 x 2. .. x n ) = a 0 { \ displaystyle { \ begin { cases } { a = a_ { n } } \ \ { – a ( x_ { 1 } + x_ { 2 } + … + x_ { n } ) = a_ { n-1 } } \ \ { \ ldots } \ \ { \ ldots } \ \ { ( – 1 ) ^ { n-1 } a ( x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { n-1 } + x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { n-2 } x_ { n } + … + x_ { 2 } x_ { 3 } … x_ { n } ) = a_ { 1 } } \ \ { ( – 1 ) ^ { n } a ( x_ { 1 } x_ { 2 } … x_ { n } ) = a_ { 0 } } \ \ \ end { cases } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{n-1}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}...x_{n-1}+x_{1}x_{2}...x_{n-2}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04d6e80df4d24ec4d0a481de1c7d0661cd55b62" width="28803.7" height="7395.2">

và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là

a n − k { \ displaystyle a_ { n-k } \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle a_{n-k}\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d031a02a99a7bb7f6a7a9c493be44a55716bef" width="2140" height="865.1">

$( − 1 ) k a { \ displaystyle ( – 1 ) ^ { k } a \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle (-1)^{k}a\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45afd0b592edd89039ee8d6c88ce9dcb9720f906" width="3222.9" height="1367.4">$

nhân với

Tổng của: các tích từng cụm k các nghiệm của phương trình trên.

–
Nếu x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 { \ displaystyle ax ^ { 3 } + bx ^ { 2 } + cx + d = 0 \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a0b58f6b712c05eba52a928e03ccbea6aa13dd" width="10211.4" height="1223.9">

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

{ x 1 + x 2 + x 3 = − b / a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c / a x 1 x 2 x 3 = − d / a { \ displaystyle { \ begin { cases } { x_ { 1 } + x_ { 2 } + x_ { 3 } = – b / a } \ \ { x_ { 1 } x_ { 2 } + x_ { 2 } x_ { 3 } + x_ { 3 } x_ { 1 } = c / a } \ \ { x_ { 1 } x_ { 2 } x_ { 3 } = – d / a } \ \ \ end { cases } } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e835dd20cc50b6e00eb4a885287dd730575937ea" width="12614.9" height="3807.2">

Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình.
- Ví dụ: Có thể nhẩm tính phương trình: $x 2 − 5 x + 6 = 0 { \ displaystyle x ^ { 2 } – 5 x + 6 = 0 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x^{2}-5x+6=0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1c6af530187c6002c04d02e92390aaba62592e" width="6880.4" height="1223.9">$ $. { \ displaystyle. \, }<img decoding="async" alt="{\displaystyle .\,}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0f83e81cb7168c245139589971b14403337725" width="445.2" height="362.8">$
Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình toán học học kỳ 2, lớp 9 tại Việt Nam.

Áp dụng trong phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0, a ≠ 0 { \ displaystyle ax ^ { 2 } + bx + c = 0, \, a \ neq 0 }
- Khi có tổng và tích của hai nghiệm { x 1 + x 2 = S = − b / a x 1 x 2 = P = c a { \ displaystyle { \ begin { cases } { x_ { 1 } + x_ { 2 } = S = – b / a } \ \ { x_ { 1 } x_ { 2 } = P = { \ frac { c } { a } } } \ \ \ end { cases } } }S 2 − 4 P ≥ 0 { \ displaystyle S ^ { 2 } – 4P \ geq 0 } $<img decoding="async" alt="{\displaystyle S^{2}-4P\geq 0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231c643d6bf65c622994caeb5944528bd11c759b" width="5418.6" height="1223.9">$
  - Khi đó $x 1, x 2 { \ displaystyle x_ { 1 }, x_ { 2 } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188263943645114e27e316cc1be787861e5b67be" width="2498" height="865.1">$ $X 2 − S X + P = 0 { \ displaystyle X ^ { 2 } – SX + P = 0 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle X^{2}-SX+P=0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f7b9976647929ff224f8804be0a1c4b55b8080" width="7843.6" height="1223.9">$
  - Phương trình có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow x 1 x 2$ $P.$ $a c$ $a {\displaystyle a} Xem thêm: Stt Độc Thân Kiêu Hãnh ❤️ Cap Độc Thân Vui Tính Hay Nhất | Mekoong <img decoding="async" alt="a" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" width="529.5" height="721.6">$ $c { \ displaystyle c }<img decoding="async" alt="c" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" width="433.5" height="721.6">$
  - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $⇔ 0 0 S > 0 P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 00}\\{S>0}\\{P>0}\\\end{cases}}} ⇔ x 1 0 S 0 {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}0}\\{S0}\\\end{cases}}} x 0 { \ displaystyle x_ { 0 } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{0}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" width="1026.4" height="865.1">$ $⇔ 0 0 x 0 x 0 = P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 00}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}} x 0 { \ displaystyle x_ { 0 } }$ $⇔ 0 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 00}\\\end{cases}}} a + b + c = 0 { \ displaystyle a + b + c = 0 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle a+b+c=0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5245ba4d2ebcabcab909b606e5aa7f45f52c8c25" width="5672.9" height="1008.6">$ $x 1 = 1 { \ displaystyle x_ { 1 } = 1 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{1}=1}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68209597f05acea5c148021527eb7fe21bd77a55" width="2861" height="1080.4">$ $x 2 = c / a { \ displaystyle x_ { 2 } = c / a }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{2}=c/a}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8275fb6a4758c203e97fc4201839c17bc925ee88" width="3824" height="1223.9">$
  - Khi $a − b + c = 0 { \ displaystyle a-b+c = 0 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle a-b+c=0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695bda6f5f028a99651fedf8931f1124658768de" width="5672.9" height="1008.6">$ $x 1 = − 1 { \ displaystyle x_ { 1 } = – 1 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{1}=-1}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd2c509bbdf4efec956cffd6946a3e0d2db8cb1" width="3639.5" height="1080.4">$ $x 2 = − c / a { \ displaystyle x_ { 2 } = – c / a }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{2}=-c/a}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e155485694e3cfb0df89a6461e4147d7729772bc" width="4602.5" height="1223.9">$
- Phân tích đa thức thành nhân tử
  - Nếu hàm số $f ( x ) = a x 2 + b x + c { \ displaystyle f ( x ) = { \ displaystyle ax ^ { 2 } + bx + c } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5941acc3b14b83f42dbb2eb0c8423ee58a2da9" width="8673.4" height="1367.4">$ $x 1 { \ displaystyle x_ { 1 } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{1}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308" width="1026.4" height="865.1">$ $x 2 { \ displaystyle x_ { 2 } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle x_{2}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766" width="1026.4" height="865.1">$ $f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) { \ displaystyle f ( x ) = a ( x-x_ { 1 } ) ( x-x_ { 2 } ) }<img decoding="async" alt="{\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e27306558b8ad4f3d7467232fd4a2b5cbc3a41" width="10967.3" height="1223.9">$
  - Nếu hàm số $f ( x ) = a x 2 + b x + c { \ displaystyle f ( x ) = { \ displaystyle ax ^ { 2 } + bx + c } }$ $x 0 { \ displaystyle x_ { 0 } }$ $f ( x ) = a ( x − x 0 ) 2 { \ displaystyle f ( x ) = a ( x-x_ { 0 } ) ^ { 2 } }<img decoding="async" alt="{\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d2540e582869efb46f4078a23d07f7c8296dd1" width="7820.3" height="1367.4">$
Áp dụng trong phương trình bậc ba a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 { \ displaystyle ax ^ { 3 } + bx ^ { 2 } + cx + d = 0 } $<img decoding="async" alt="{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6a382654ad8c94dc3bfea84bf4a869ab5c68cb" width="10044.7" height="1223.9">$
- Nhẩm nghiệm nhanh:
  - Khi $a + b + c + d = 0 { \ displaystyle a + b + c + d = 0 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle a+b+c+d=0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7585e47faad091cb70a8736951274cde170b3244" width="7419.4" height="1008.6">$ $x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} Xem thêm: Stt bầu trời – Những câu nói, cap hay về bầu trời$
  - Khi $a − b + c − d = 0 { \ displaystyle a-b+c-d = 0 }<img decoding="async" alt="{\displaystyle a-b+c-d=0}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fa3e6cd283a2eb7fee4811440cba83bd95fa46" width="7419.4" height="1008.6">$ $x 1 = − 1 { \ displaystyle x_ { 1 } = – 1 }$

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn

Phương trình đa thức bất kể.

Share this: