Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Bài giảng: Các dạng bài về khoảng cách, góc trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

– Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d : có 2 cách sau :
+ Cách 1 : Tìm hình chiếu H của điểm đó đến d => MH là khoảng cách từ A đến d

+ Cách 2. công thức (với u→ là vectơ chỉ phương của d và M0 là một điểm thuộc d)

– Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d (u→ là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M0) và d’ ((u’) ⃗ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M0′) ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng ( P. ) chứa d và song song d ’
+ Khoảng cách giữa d và d ’ chính là khoảng cách từ điểm M0 ‘ đến mặt phẳng ( P. ) d ( d, d ’ ) = d ( M0 ‘, ( P. ) )
+ Hoặc dùng công thức :

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng

A.

B.

C. 2

D.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua B(0;1; -1) và có vectơ chỉ phương

Ta có:

Vậy

Chọn B .

Ví dụ: 2

Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng

Tính khoảng cách giữa d và (P)

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d có vecto chỉ phương
và đi qua điểm M0(1;7;3)

Ta có:

Vậy d / / ( P. )

Chọn D.

Ví dụ: 3

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. 1

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là:
.

– Gọi ( P. ) là mặt phẳng chứa d và song song với d ’. ( P. ) nhận vectơ pháp tuyến là

M0 ( 1 ; – 1 ; 1 ) thuộc d cũng thuộc ( P. ) nên phương trình mặt phẳng ( P. ) là :
– 1 ( x-1 ) – 2 ( y + 1 ) + 1 ( z-1 ) = 0 hay x + 2 y – z + 2 = 0
– d ’ đi qua M0 ‘ ( 2 ; – 2 ; 3 )

Vậy

Cách 2:

Ta có :

Vậy

chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và điểm A( -1; 2; 1). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 0; – 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là :

Chọn C.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã

cho?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; – 2) và có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d’ đi qua B( 2; -1; 2) và có vecto chỉ phương

=> Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là :

Chọn B.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho 3 điểm A ( 0 ; 1 ; 2 ) ; B ( – 2 ; 0 ; 1 ) và C ( 2 ; 1 ; – 3 ). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC ?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng BC đi qua B( -2; 0;1) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ điể A đến đường thẳng BC là :

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho bốn điểm A ( 1 ; 2 ; – 1 ) ; B ( – 2 ; 1 ; 1 ) C ( 2 ; 1 ; 3 ) và D ( – 1 ; 0 ; 5 ). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD ? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: đi qua A(1;2; -1) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương.

+ Hai đường thẳng AB và CD có cùng vecto chỉ phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD .
=> AB / / CD nên d ( AB ; CD ) = d ( A ; CD )

+ Ta có:

Chọn C.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d:

. Tìm m để khoảng cách từ A đến d là
?

A. m = – 1 hoặc m = ( – 2 ) / 3
B. m = – 1 hoặc m = 1/7
C. m = 1 hoặc m = – 1

D. m= 1 hoặc m= 1/7

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=

Chọn B.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; m;2) và đường thẳng
. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là 2?

A. m = 2
B. m = – 1
C. m = 3
D. m = – 4

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; 0) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì :

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm khoảng cách của A( 1;-2; 1) đến đường thẳng

A.

B.

C. 2

D.

Hiển thị lời giải

Đường thẳng d đi qua B(2;0; -1) và có vectơ chỉ phương

Ta có:

Vậy

Chọn B .

Câu 2:

Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1= 0 và đường thẳng
.
Tính khoảng cách giữa d và (P)

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d có vecto chỉ phương
và đi qua điểm M0 (1;0;3)

Ta có:

Vậy d / / ( P. )

Chọn C.

Câu 3:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Đường thẳng d đi qua A( 2; -1; 1) và có vecto chỉ phương
.

Đường thẳng d’ đi qua B( 0; -2; 1) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Và

Vậy

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và điểm A( 0;-2; 3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 0;1; -1) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là :

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã

cho?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; 0) và có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d’ đi qua B(0;1; 2) và có vecto chỉ phương

=> Khỏang cách giữa hai đường thẳng đã cho là :

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A ( 2 ; – 1 ; – 1 ) ; B ( 2 ; 3 ; 1 ). Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB ?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng AB đi qua A( 2; -1; -1) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là :

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho bốn điểm A ( 0 ; 0 ; 2 ) ; B ( 1 ; 2 ; – 1 ) C ( 2 ; 1 ; 3 ) và D ( 4 ; 5 ; – 3 ). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD ? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng .

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng AB: đi qua A(0;0; 2) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương.

+ Hai đường thẳng AB và CD có hai vecto chỉ phương là cùng phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD .
=> AB / / CD nên d ( AB ; CD ) = d ( A ; CD )

+ Ta có:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng

. Tìm m để khoảng cách từ A đến d là
?

A. m = – 1
B. m = 0
C. m = – 2
D. m = 1
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 1;2; 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(m; 0; 2) và đường thẳng
. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là
?

A. m = 2 hoặc m = 1
B. m = – 1 hoặc m = 0
C. m = 3 hoặc m = 0
D. m = – 4 hoặc m = – 1
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; – 1) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì :

Chọn B.

Bài giảng: Các dạng bài về khoảng cách, góc trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp