Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Bài giảng: Các dạng bài về khoảng cách, góc trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải
Quảng cáo
Bạn đang đọc: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau – Toán lớp 12
– Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d : có 2 cách sau :
+ Cách 1 : Tìm hình chiếu H của điểm đó đến d => MH là khoảng cách từ A đến d
+ Cách 2. công thức (với u→ là vectơ chỉ phương của d và M0 là một điểm thuộc d)
– Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d (u→ là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M0) và d’ ((u’) ⃗ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M0′) ta làm như sau:
+ Viết phương trình mặt phẳng ( P. ) chứa d và song song d ’
+ Khoảng cách giữa d và d ’ chính là khoảng cách từ điểm M0 ‘ đến mặt phẳng ( P. ) d ( d, d ’ ) = d ( M0 ‘, ( P. ) )
+ Hoặc dùng công thức :
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng 
A. 
B. 
C. 2
D. 
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d đi qua B(0;1; -1) và có vectơ chỉ phương 
Ta có: 
Vậy
Chọn B .
Ví dụ: 2
Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng 
Tính khoảng cách giữa d và (P)
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 
Đường thẳng d có vecto chỉ phương 
và đi qua điểm M0(1;7;3)
Ta có: 
Vậy d / / ( P. )
Chọn D.
Ví dụ: 3
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
A. 
B. 
C. 
D. 1
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: 
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là: 
.
– Gọi ( P. ) là mặt phẳng chứa d và song song với d ’. ( P. ) nhận vectơ pháp tuyến là
M0 ( 1 ; – 1 ; 1 ) thuộc d cũng thuộc ( P. ) nên phương trình mặt phẳng ( P. ) là :
– 1 ( x-1 ) – 2 ( y + 1 ) + 1 ( z-1 ) = 0 hay x + 2 y – z + 2 = 0
– d ’ đi qua M0 ‘ ( 2 ; – 2 ; 3 )
Vậy 
Cách 2:
Ta có :
Vậy
chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 
và điểm A( -1; 2; 1). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?
A.
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 0; – 2) và có vecto chỉ phương 
+ Ta có: 
=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là :
Chọn C.
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã
cho?
A. 
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; – 2) và có vecto chỉ phương 
+ Đường thẳng d’ đi qua B( 2; -1; 2) và có vecto chỉ phương 
=> Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là :
Chọn B.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho 3 điểm A ( 0 ; 1 ; 2 ) ; B ( – 2 ; 0 ; 1 ) và C ( 2 ; 1 ; – 3 ). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC ?
A.
B.
C. 
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng BC đi qua B( -2; 0;1) và nhận vecto 
làm vecto chỉ phương
+ Ta có:
=> Khoảng cách từ điể A đến đường thẳng BC là :
Chọn A.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho bốn điểm A ( 1 ; 2 ; – 1 ) ; B ( – 2 ; 1 ; 1 ) C ( 2 ; 1 ; 3 ) và D ( – 1 ; 0 ; 5 ). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD ? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng .
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB: đi qua A(1;2; -1) và nhận vecto 
làm vecto chỉ phương
+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto 
làm vecto chỉ phương.
+ Hai đường thẳng AB và CD có cùng vecto chỉ phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD .
=> AB / / CD nên d ( AB ; CD ) = d ( A ; CD )
+ Ta có: 
Chọn C.
Ví dụ: 8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d:
. Tìm m để khoảng cách từ A đến d là 
?
A. m = – 1 hoặc m = ( – 2 ) / 3
B. m = – 1 hoặc m = 1/7
C. m = 1 hoặc m = – 1
D. m= 1 hoặc m= 1/7
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 2) và có vecto chỉ phương 
+ Ta có; 
+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=
Chọn B.
Ví dụ: 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; m;2) và đường thẳng 
. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là 2?
A. m = 2
B. m = – 1
C. m = 3
D. m = – 4
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; 0) và có vecto chỉ phương 
+ Ta có: 
+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì :
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tìm khoảng cách của A( 1;-2; 1) đến đường thẳng 
A. 
B. 
C. 2
D. 
Hiển thị lời giải
Đường thẳng d đi qua B(2;0; -1) và có vectơ chỉ phương 
Ta có: 
Vậy
Chọn B .
Câu 2:
Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1= 0 và đường thẳng 
.
Tính khoảng cách giữa d và (P)
A. 
B.
C.
D. 
Hiển thị lời giải
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 
Đường thẳng d có vecto chỉ phương 
và đi qua điểm M0 (1;0;3)
Ta có: 
Vậy d / / ( P. )
Chọn C.
Câu 3:
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
A. 
B. 
C.
D. 
Hiển thị lời giải
Đường thẳng d đi qua A( 2; -1; 1) và có vecto chỉ phương 
.
Đường thẳng d’ đi qua B( 0; -2; 1) và có vecto chỉ phương 
Ta có: 
Và 
Vậy
Chọn D.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng 
và điểm A( 0;-2; 3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?
A. 
B.
C. 
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 0;1; -1) và có vecto chỉ phương 
+ Ta có; 
=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là :
Chọn A.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã
cho?
A. 
B. 
C. 
D. Tất cả sai
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; 0) và có vecto chỉ phương 
+ Đường thẳng d’ đi qua B(0;1; 2) và có vecto chỉ phương 
=> Khỏang cách giữa hai đường thẳng đã cho là :
Chọn D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A ( 2 ; – 1 ; – 1 ) ; B ( 2 ; 3 ; 1 ). Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB ?
A.
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng AB đi qua A( 2; -1; -1) và nhận vecto 
làm vecto chỉ phương
+ Ta có: 
=> Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là :
Chọn A.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho bốn điểm A ( 0 ; 0 ; 2 ) ; B ( 1 ; 2 ; – 1 ) C ( 2 ; 1 ; 3 ) và D ( 4 ; 5 ; – 3 ). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD ? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng .
A. 
B. 
C.
D. 
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng AB: đi qua A(0;0; 2) và nhận vecto 
làm vecto chỉ phương
+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto 
làm vecto chỉ phương.
+ Hai đường thẳng AB và CD có hai vecto chỉ phương là cùng phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD .
=> AB / / CD nên d ( AB ; CD ) = d ( A ; CD )
+ Ta có: 
Chọn C.
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng
. Tìm m để khoảng cách từ A đến d là 
?
A. m = – 1
B. m = 0
C. m = – 2
D. m = 1
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d đi qua M( 1;2; 2) và có vecto chỉ phương 
+ Ta có; 
+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=
Chọn B.
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(m; 0; 2) và đường thẳng 
. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là 
?
A. m = 2 hoặc m = 1
B. m = – 1 hoặc m = 0
C. m = 3 hoặc m = 0
D. m = – 4 hoặc m = – 1
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; – 1) và có vecto chỉ phương 
+ Ta có: 
+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì :
Chọn B.
Bài giảng: Các dạng bài về khoảng cách, góc trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp
Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn