Nội dung bài viết Tính độ dài của tổng và hiệu hai véc-tơ:
Tính độ dài của tổng và hiệu hai véc-tơ. Độ dài của véc-tơ bằng độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó. Ta thường sử dụng các công thức về cạnh như hệ thức lượng tam giác vuông, định lý Pytago, tính chất tam giác đều, hình chữ nhật, hình vuông. BÀI TẬP DẠNG 3. Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB − AC. Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu ∆ABC thỏa mãn thì ∆ABC là tam giác vuông. Lời giải. Dựng hình bình hành ABDC. Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD. Theo quy tắc hiệu hai véc-tơ ta có AB − AC = CB. Từ giả thiết suy ra AD = BC, tức là AD = BC. Hình bình hành ABDC có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, tức là tam giác ABC vuông.
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của véc-tơ sau MD, MN. Áp dụng Định lý Pytago trong tam giác vuông MAD ta có DM2 = AM2 + AD2 = a2. Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P. Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và PM = PA + AM = a + a2 = 3a. Áp dụng Định lý Pytago trong tam giác vuông NPM ta có MN2 = NP2 + PM2 = a2 + 3a2 = 13a2. Ví dụ 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là một điểm bất kỳ. Tính độ dài véc-tơ MA − MB − MC + MD.
Bài 2. Xét các véc-tơ a và b khác 0. Khi nào thì a + b = a + b. Từ điểm O nào đó, ta vẽ OA = a và AB = b. Khi đó a + b = OA + AB = OB. Như vậy: OB = OA + AB. Điều này xảy ra khi và chỉ khi O, A, B thẳng hàng theo thứ tự này. Hay hai véc-tơ a và b cùng hướng. Từ điểm A nào đó, ta kẻ AB = AD = b. Vẽ điểm C sao cho ABCD là hình bình hành. Theo quy tắc hình bình hành ta có: a + b = AC. Theo quy tắc về hiệu véc-tơ ta có: a − b = AB − AD = DB. Như vậy: AC = BD. Điều này xảy ra khi ABCD là hình chữ nhật. Vậy AB vuông góc với AD hay giá của hai véc-tơ vuông góc với nhau.
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = a và BC = 2b (với a > b > 0). Tính độ dài véc-tơ tổng AB + BH và độ dài véc-tơ hiệu AB − CA. Lời giải. Do tam giác ABC cân tại A, đường cao AH nên H là trung điểm BC. Suy ra BH = b. Trong tam giác vuông ABH, ta có: AH = √AB2 − BH2 = √a2 − b2. Vẽ hình bình hành ABDC. Khi đó: AB − CA = AB + AC = AD. Bài 10. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + MB, với M thuộc d. Trong trường hợp M, A, B không thẳng hàng, ta dựng hình bình hành MANB. Khi đó MA + MB = MN. Suy ra MA + MB = MN. Gọi O là giao điểm của MN và AB. Khi đó, O là trung điểm AB nên O là điểm cố định. Từ O, N lần lượt kẻ các đường vuông góc với d, cắt d tại P, Q. Ta có MN ≥ NQ = 2OP. Còn khi M, A, B thẳng hàng thì hiển nhiên MA + MB > 2OP. Vậy MA + MB nhỏ nhất là bằng 2OP, đạt được khi M trùng P.

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn