Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 3 và cách ứng dụng giải phương trình

Định lý Vi-ét cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học điều tra và nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong những kỳ thi Olympic toán học. Vì vậy, nắm vững công thức này, tạo thời cơ cho bạn chinh phục thêm nhiều đỉnh điểm mới. Hãy dành thời hạn san sẻ bài viết sau đây cả THPT Sóc Trăng để nắm vững hơn chuyên đề này và cách ứng dụng định lí Vi-et giải phương trình cực hay .

I. ĐỊNH LÍ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

1. Định lý Vi-ét thuận.

Bạn đang xem : Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 3 và cách ứng dụng giải phương trình
Cho phương trình bậc 2 một ẩn : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ( * ) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn nhu cầu hệ thức sau :

Hệ quả : Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta hoàn toàn có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số ít trường hợp đặc biệt quan trọng :
Nếu a + b + c = 0 thì ( * ) có 1 nghiệm x1 = 1 và x2 = c / aNếu a-b+c = 0 thì ( * ) có nghiệm x1 = – 1 và x2 = – c / a

2. Định lý Vi-ét đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức :

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2 : x2-Sx+P = 0 ( 1 ) .
Chú ý : điều kiện kèm theo S2-4P ≥ 0 là bắt buộc. Đây là điều kiện kèm theo để ∆ ( 1 ) ≥ 0 hay nói cách khác, đây là điều kiện kèm theo để phương trình bậc 2 sống sót nghiệm .

3. Định lý Vi- ét bậc 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT

Dạng 1: Áp dụng định lý Vi-ét tính giá trị biểu thức đối xứng

Phương pháp :
Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không đổi khác :

Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn sống sót cách màn biểu diễn qua biểu thức đối xứng S = x1 + x2, P = x1x2Một số trình diễn quen thuộc :

Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm .

Ví dụ 1: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

Hãy chứng tỏ :

Hướng dẫn :

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:

Hướng dẫn :
Cách 1 :
Ta biến hóa :

Lại có :

Thế vào ta tính được S .
Cách 2 :
Ta hoàn toàn có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, quan tâm :

Ta có : S = S7 .
Vậy ta tính lần lượt S1, S2, .., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7 .

Dạng 2: Ứng dụng hệ thức Vi-ét tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp :
Nếu 2 số u và v thỏa mãn nhu cầu :

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình : x2-Sx+P = 0 .
Như vậy, việc xác lập hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn :
Nếu S2-4P ≥ 0 thì sống sót u, v. Nếu S2-4P

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn :
Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có :

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình : x2-3ax+2a2 = 0 .
Giải phương trình trên được x1 = 2 a, x2 = a ( do x1 > x2 )
Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2 a, chiều rộng là a .

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Điều kiện : x ≠ – 1
Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra xu thế khi ở dạng này .
Vì vậy, ta hoàn toàn có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn thuần hơn .
Ta đặt :

Khi đó theo đề : uv = 6 .
Ta lại có :

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2 : t2-5t+6 = 0 .
Giải phương trình trên được :

Trường hợp 1 : u = 3, v = 2. Khi đó ta thu được phương trình : x2-2x+3 = 0 ( vô nghiệm ) Trường hợp 2 : u = 2, v = 3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2 = 0, suy ra x1 = 1, x2 = 2 ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo x ≠ – 1 )

Ví dụ 3: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)

Hướng dẫn :
Ta cần biến hóa hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc :

Trường hợp 1 :

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 : x2-5x+6 = 0. Giải tìm được x1 = 3, x2 = 2
Trường hợp 2 :

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 : x2 + 5 x + 6 = 0. Giải tìm được x1 = – 2, x2 = – 3 .

Dạng 3: Áp dụng định lý Vi-ét vào các bài toán có tham số.

Đối với những bài toán tham số, điều kiện kèm theo tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình sống sót nghiệm. Sau đó vận dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có những hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, tích hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án .

Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:

sống sót nghiệm x1, x2 phân biệt sao cho :

Hướng dẫn :
Điều kiện để phương trình sống sót 2 nghiệm phân biệt :

Khi đó dựa vào hệ thức Viet :

Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 ( vì để thỏa mãn nhu cầu đẳng thức đề cho ), suy ra :

( 2 )

Mặt khác, theo đề :

Trường hợp 1 :

Trường hợp 2 :

Kết hợp với 2 điều kiện kèm theo ( 1 ) và ( 2 ) suy ra m = 1 hoặc m = 5 thỏa nhu yếu bài toán .

Ví dụ 2: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác lập giá trị của tham số để :
Có đúng 1 nghiệm âm. Có 2 nghiệm trái dấu .
Hướng dẫn :
Nhắc lại kỹ năng và kiến thức :

Đặc biệt, do ở thông số a có chứa tham số, thế cho nên ta cần xét hai trường hợp :
Trường hợp 1 : a = 0 ⇔ m = 0
Khi đó ( * ) ⇔ – 6 x – 4 = 0 ⇔ x = – ⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất .
Trường hợp 2 : a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
Lúc này, điều kiện kèm theo là :

Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn học sinh định lí Vi-et cho phương trình bậc 3 và cách ứng dụng giải phương trình cực hay. Hi vọng, sau khi chia sẻ cùng bài viết, bạn nắm vững hơn chuyên đề Đại số vô cùng quan trọng này. Định lí Vi-et cho phương trình bậc 2 cũng đã được chúng tôi chia sẻ. Bạn tìm hiểu thêm nhé !

Đăng bởi : trung học phổ thông Sóc Trăng

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn