Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Giải

 hệ

 x1

2x

 1

x1



1 2

2 4

1 2

Ví dụ

tìm nghiệm của không gian nghiệm

+ 2×2 − x3 + x4 = 0

+ 4×2 − 3×3

= 0

+ 2×2 + x3 + 5×4 = 0







h2 →h2 −2h1

1 2 −1 1

−1 1

h →h −h1

 0 0 −1 −2 

−3 0  −−3−−3−−→

0 0 2 4

1 5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

22CON

/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ





1 2 −1 1

h3 →h3 +2h2

−−

−−−−→  0 0 −1 −2  ⇒ x1, x3 là biến cơ

0 0 0 0

sở,

, x4 là

 biến tự do.Đặt x2 = α,

x4 =β



 x2

x1

−2α − 3β

−2

−3











 x2  

α

 = α 1 +β 0 

=





 0 

 −2 

 x3  

−2β

x4

β

0

1

Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0, −2, 1)T là cơ sở

của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm

của hệ này là 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

23CON

/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Số chiều của bao tuyến tính < M > và hạng của hệ véctơ

Định lý

Giả sử M = {x1, x2,. .., xp } ⊂ E có hạng r và

W =< M > là không gian véctơ con sinh bởi M.

Khi đó dim(W ) = r .

Chứng minh.

Giả sử Mr = {xi1, xi2 ,. .. xir } là 1 tập con độc

lập tuyến tính tối đại của M.

Chứng minh Mr sinh ra W .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

24CON

/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ

thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ

của Mr ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính

của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính

của các véctơ của Mr. Có nghĩa là

W =< M >⇒ W =< Mr > .

Mr độc lập tuyến tính.

Mr là tập sinh của W .

⇒ Mr là cơ sở của W

⇒ dim(W ) = r = rank(M).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

25CON

/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E

sinh bởi m véctơ x1, x2 ,. .., xm : M =< x1, x2 ,. .., xm >

1

2

3

Lấy một cơ sở B = {e1, e2,. .., en } bất kỳ của

E. Tìm [x1]B, [x2]B ,. .., [xm ]B

Xét không gian hàng của ma trận

A = ([x1]B, [x2]B ,. .., [xm ]B )T

Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định

r (A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng

r (A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

26CON

/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ

Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) =

x 2 + 2x + 1, p2(x) = 2x 2 + x − 1, p3(x) = 4x + 4.

Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi

3 véctơ trên.

Xét cơ sở chính tắc x 2,x, 1

1

trận các cột A là A =  2

0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

của P2

(x), vậy ma

2 1

1 −1 

4 4

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

27CON

/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ





1 2 1

h3 →h3 −4/3h2

h2 →h2 −2h1

A −−

−−−−→  0 −3 −3  −−−−−−−→

0 4 4





1 2 1

 0 −3 −3  = B. Ma trận B có hàng 1 và

0 0 0

hàng 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không

gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy

p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian

con sinh bởi 3 véctơ trên là 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.

KHÔNG

HCM —

GIAN

2013.

VÉCTƠ

28CON

/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Hạng của ma trận phụ hợp

Hạng của ma trận phụ hợp

Định lý

Cho A ∈ Mn (K ). Khi đó

Nếu r (A) = n thì r (PA) = n

Nếu r (A) = n − 1 thì r (PA) = 1

Nếu r (A) < n − 1 thì r (PA) = 0. 1 2 3 1. r (A) = n ⇒ det(A) = 0. det(PA) = (det(A))n−1 ⇒ det(PA) = 0 ⇒ r (PA) = n. 3. r (A) < n − 1 ⇒ mọi định thức con cấp n − 1 đều bằng 0 ⇒ PA = 0 ⇒ r (PA) = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 29CON / 53 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hạng của ma trận phụ hợp 2. Ta có A.PA = det(A). Nếu r (A) = n − 1 thì det(A) = 0. Do đó A.PA = 0, từ đó suy ra các véc tơ cột của ma trận PA là nghiệm của hệ phương trình AX = 0. Suy ra rank(PA) = hạng các véc tơ cột của ma trận PA nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0 ⇒ r (PA) n − r (A) = 1. Mặt khác, do r (A) = n − 1 nên A có ít nhất 1 định thức con cấp n − 1 khác không hay PA = 0. Suy ra r (PA) 1. Vậy r (PA) = 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 30CON / 53 Tổng và giao các không gian con Định nghĩa Định lý Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E, thế thì giao Fi là i∈I một không gian véctơ con của E . Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I 1 2 3 F = ∅ vì ∀i ∈ I, 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I, x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒x +y ∈F ∀i ∈ I, x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 31CON / 53 Tổng và giao các không gian con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 32CON / 53

Source: http://139.180.218.5
Category: Thuật ngữ đời thường