Nội dung chính
Cách giải phương trình bậc 2 số phức cực hay, chi tiết
Cách giải phương trình bậc 2 số phức cực hay, chi tiết
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Quảng cáo
– Giải những phương trình bậc hai với thông số thực
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ; b ; c ∈ R ; a ≠ 0 ) .
Xét Δ = b2 – 4 ac, ta có
+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = .
+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác lập bởi công thức :
+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác lập bởi công thức :
+ Chú ý .
Mọi phương trình bậc n: luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
Hệ thức Vi – ét so với phương trình bậc hai với thông số thực : Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ; b ; c ∈ R ; a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ( thực hoặc phức ) .
– Phương trình quy về phương trình bậc hai với thông số thực
Phương pháp 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
– Bước 1 : Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt quan trọng của phương trình .
+ Tổng những thông số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 .
+ Tổng những thông số biến bậc chẵn bằng tổng những thông số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = – 1 .
– Bước 2 : Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử ( dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne ) như sau :
Với đa thức f ( x ) = anxn + an – 1 xn – 1 + …. + a1x + ao chia cho x – a có thương là
g ( x ) = bnxn + bn – 2 xn – 2 + …. + b1x + bo dư r
Ví dụ minh họa
an | an-1 | an-2 | a2 | a1 | ao | |
a | bn-1 = an | bn-2 = abn-1 + an-2 | bn-3 = abn-2 + an-3 | b1 = ab2 + a2 | bo = ab1 + a1 | r = abo + bo |
– Bước 3 : Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, Kết luận nghiệm
Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ :
– Bước 1 : Phân tích phương trình thành những đại lượng có dạng giống nhau .
– Bước 2 : Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện kèm theo của ẩn phụ ( nếu có ) .
– Bước 3 : Đưa phương trình bắt đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới .
– Bước 4 : Giải phương trình, Kết luận nghiệm .
Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z2 – z + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có a = 1 ; b = – 1 ; c = 1 nên Δ = b2 – 4 ac = – 3 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
Quảng cáo
Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z2 + √5 = 0 là:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án B
Ví dụ 3:Trong C, nghiệm của phương trình z3 – 8 = 0 là :
Hướng dẫn:
Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có :
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt .
Ví dụ 4:Trong C, phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:
Hướng dẫn:
Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :
Δ = b2 – 4 ac = ( 3 i ) 2 – 4.1.4 = – 25 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức là :
Chọn đáp án A .
Ví dụ 5:Cho z = 1 – i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A .
Ví dụ 6: Trong C, phương trình (z2 + i)(z2- 2iz – 1) = 0 có nghiệm là:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A .
Ví dụ 7:Trong C, phương trình có nghiệm là:
( 1 ± √ 3 ) i B. ( 5 ± √ 2 ) i C. ( 1 ± √ 2 ) i D. ( 2 ± √ ( 5 ) i )
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A .
B. Bài tập vận dụng
Câu 1:Trong C, phương trình 2×2 + x + 1 = 0 có nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :
Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 12 – 4.1.1 = – 7 = 7 i2 < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là :
Quảng cáo
Câu 2:Trong C, phương trình z2 – z + 1 = 0 có nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Δ = b2 – 4 ac = – 3 < 0 Nên phương trình có hai nghiệm phức là :
Câu 3:Trong C, nghiệm của phương trình z2 = -5 + 12i là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :
Giả sử z = x + yi là một nghiệm của phương trình .
Do đó phương trình có hai nghiệm là
Câu 4: Trong C, phương trình z4-6z2 + 25 = 0 có nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Câu 5:Biết z1;z2 là hai nghiệm của phương trình z2 + √3 z + 3 = 0. Khi đó giá trị của z12 + z22 là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Câu 6: Phương trình z2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:
A. 0 B. C. 3 D. – 1
Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Vì z = 1 + 2 i là một nghiệm của phương trình z2 + az + b = 0 nên ta có :
( 1 + 2 ) 2 + a ( 1 + 2 i ) + b = 0
<=> a + b + 2ai = 3 – 4i
<=> a + b = 3
Câu 7:Gọi z1;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 – 4z + 5 = 0. Khi đó phần thực của z12 + z22 là:
A. 5 B. 6 C. 4 D. 7
Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
Theo Viet, ta có:
Câu 8:Gọi z1;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 4 = 0. Khi đó A = |z1|2 + |z2|2 có giá trị là
A. – 7 B. – 8 C. – 4 D. 8
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z2 – 6z + 13 = 0. Tính
A. √ 17 và 4 B. √ 17 và 5 C. √ 17 và 3 D. √ 17 và 2
Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
Câu 10: Gọi z1;z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 + (1-3i)z – 2(1+i) = 0. Khi đó w = z12 + z22 – 3 z1z2 là số phức có môđun là:
A. 5 B. √ 13 C. 2 √ 13 D. √ 20
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Theo Viet, ta có:
Câu 11: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z2 + 8|z|2 -3 = 0 là:
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi z = a + bi là nghiệm của phương trình .
Ta có :
Vậy phương trình có 4 nghiệm phức
Câu 12: Cho phương trình z2 + mz – 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:
A. 0 B. 1 C. – 2 D. – 1
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho
Theo Viet, ta có:
Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có :
Câu 13:Gọi z1;z2;z3;z4 là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là :
Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
Với mọi , ta có:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
so-phuc.jsp
Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn