Có lẽ trong chúng ta ai cũng đã gặp các bài toán liên quan đến đường trung trực rồi phải không nào? Vậy có tất cả bao nhiêu tính chất đường trung trực? Làm thế nào để nhận biết được đâu là đường trung trực? Hãy lướt ngay xuống bài viết dưới đây để cùng GiaiNgo tìm hiểu ngay nhé!
Nội dung chính
Đường trung trực là gì?
Trước tiên tất cả chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu và khám phá về khái niệm của đường trung trực những bạn nhé !
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy. Đường trung trực được vận dụng vào khá nhiều dạng bài tập khác nhau .
Mỗi đoạn thẳng có bao nhiêu đường trung trực?
Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một đường trung trực. Với mỗi đoạn thẳng bất kỳ, chỉ có 1 đường thẳng duy nhất vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng đó .
Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
Chắc hẳn những bạn đều muốn biết cách viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng phải không ? Sau đây là cách thông dụng được nhiều người sử dụng nhất .Đề bài tổng quát : Cho hai điểm A ( xA ; yA ) và điểm B. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB. Trước tiên, ta sẽ gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Như vậy đường thẳng ( d ) sẽ vuông góc AB tại trung điểm C của AB .Khi đó, phương trình đường thẳng ( d ) sẽ đi qua M và nhận vectơ AB làm vectơ pháp tuyến. Sau đó tất cả chúng ta sẽ viết ngay được phương trình đường thẳng d .Ví dụ : Cho hai điểm A ( 1 ; 0 ) và điểm B ( 1 ; 2 ). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB .Gọi phương trình đường trung trực của AB là d ’ .Vì theo đề bài có tọa độ điểm A và B => Ta có : vectơ AB ( 0 ; 2 ) và trung điểm AB là C ( 1 ; 1 ). Vì đường trung trực d ’ của đoạn thẳng AB vuông góc với AB tại trung điểm C, từ đó d ’ nhận vectơ AB ( 0 ; 2 ) làm vectơ pháp tuyến .Như vậy, đường trung trực d ’ của AB đi qua điểm C ( 1 ; 1 ) và có vectơ pháp tuyến là vectơ AB ( 0 ; 2 ). Vì vậy phương trình đường trung trực của AB là : 0 ( x – 1 ) + 2 ( y – 1 ) = 0 => y – 1 = 0 .
Tính chất đường trung trực
Để tìm hiểu và khám phá kĩ và sâu hơn về đường trung trực, tất cả chúng ta hãy cùng nhau mày mò những đặc thù mê hoặc của đường trung trực nhé !
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng gồm có định lý hòn đảo và định lý thuận. Trước hết, định lý thuận đường trung trực của một đoạn thẳng là điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó .Ví dụ :Theo giả thiết : d là trung trực của AB, M d .Kết luận : MA = MB ( định lý đường trung trực của một đoạn thẳng ) .Định lý hòn đảo đường trung trực của một đoạn thẳng là điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó .Ví dụ :Theo giả thiết : MA = MB .Kết luận : M ∈ đường trung trực của đoạn thẳng AB ( định lý hòn đảo đường trung trực của một đoạn thẳng ) .
Tính chất ba đường trung trực trong tam giác
Tính chất ba đường trung trực trong tam giác được phát biểu như sau : Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm và điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó .Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Đường tròn tâm O sẽ đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác và ta gọi đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Chứng minh đường trung trực
Để chứng tỏ đường trung trực của một đoạn thẳng bất kỳ, ta có 5 chiêu thức chứng tỏ khác nhau .
- Cách 1: Chứng minh d ⊥ AB tại trung điểm của AB.
- Cách 2: Chứng minh 2 điểm nằm trên d cách đều 2 điểm A và B.
- Cách 3: Áp dụng tính chất đường trung tuyến, đường cao.
- Cách 4: Áp dụng tính chất đối xứng của trục.
- Cách 5: Áp dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau ở 2 điểm.
Bên trên là những cách phổ cập thường được sử dụng để chứng tỏ đường trung trực của một đoạn thẳng bất kể. Các bạn hoàn toàn có thể vận dụng vào những dạng bài tập khác nhau .
Dạng bài toán về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Sau đây là một số dạng toán phổ cập và thường gặp về đặc thù đường trung trực của một đoạn thẳng .
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Với dạng toán này, tất cả chúng ta sẽ sử dụng định lý đường trung trực của một đoạn thẳng : Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó .Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho : BE = AB. Chứng minh rằng : AD = DE .Cách giải bài toán như sau :Xét ΔABD và ΔEBD, ta có :BD là cạnh chungBE = AB ( theo đề bài )BD là tia phân giác của góc B => góc ABD = góc DBE=> ΔABD = ΔEBD ( cạnh – góc – cạnh )=> AD = DE ( cạnh tương ứng bằng nhau ) ( điều phải chứng tỏ ) .
Dạng 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Với dạng bài này, tất cả chúng ta cần phải triển khai lần lượt 2 bước như sau :
- Áp dụng tính chất giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.
- Kế tiếp ta sẽ sử dụng định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Dạng 3: Đường trung trực trong tam giác cân
Trước khi làm dạng bài này, tất cả chúng ta cần quan tâm một đặc thù như sau : Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác ứng với cạnh đáy đó .Ví dụ : Cho tam giác ABC cân tại A, DBC cân tại D và EBC cân tại E có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng .Cách giải :Vì ΔABC cân tại A ( theo đề bài ) ⇒ AB = AC⇒ A nằm trên đường trung trực của BC .Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC⇒ D nằm trên đường trung trực của BC .Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC⇒ E nằm trên đường trung trực của BC .
Do đó ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC .Vậy A, D, E thẳng hàng ( điều phải chứng tỏ ) .
Dạng 4: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Để chứng tỏ đường trung trực của một đoạn thẳng bất kể, ta cần sử dụng định nghĩa về đường trung trực .Ví dụ 1 : Chứng minh đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD .A, B là giao điểm của hai cung tròn tâm C, D. Trong đó, hai cung tròn này có cùng nửa đường kính nên ta có :AC = AD ( = nửa đường kính ) .BC = BD ( = nửa đường kính ) .=> Hai điểm A và B cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD .Vậy AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD .
Những bài tập liên quan đến tính chất đường trung trực
Trong chương trình toán học có rất nhiều bài tập tương quan đến đặc thù của đường trung trực. Sau đây là một số ít bài tập đơn cử và thường phát hiện nhất :
Bài 1: Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A ( không kể đường thẳng d ). Gọi là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA ; từ đó suy ra NA < NB .Lời giải :Vì M nằm trên d và d là trung trực của AB nên MA = MB ( 1 ) .Vì N ∈ PA nên N và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d .⇒ M nằm giữa N và B ⇒ NM + MB = NB ( 2 )Từ ( 1 ) và ( 2 ) ⇒ NB = MA + NM .Trong ∆ NMA có : MA + NM > NA ( bất đẳng thức tam giác ) .⇒ NA < NB .
Bài 2: Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ΔAMN = ΔBMN.
Lời giải :Vì M thuộc đường trung trực của AB .⇒ MA = MB ( định lý thuận về đặc thù của những điểm thuộc đường trung trực ) .N thuộc đường trung trực của AB .⇒ NA = NB ( định lý thuận về đặc thù của những điểm thuộc đường trung trực ) .Do đó ΔAMN và ΔBMN có :AM = BM ( cmt )MN chungAN = BN ( cmt )⇒ ΔAMN = ΔBMN ( c. c. c ) ( đpcm ) .
Bài 3: Cho góc xOy bằng 68o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.
a ) So sánh OB và OC .b ) Tính số đo góc BOC .Lời giải :a ) Ox là đường trung trực của AB .=> OA = OB ; góc AOx = góc xOB .Oy là đường trung trực của AC .=> OA = OC ; góc yOA = góc yOC .Do đó OB = OC .b ) góc BOC = góc BOx + góc xOy + góc yOC = 2. góc xOy = 156 o
Bài 4: Cho ΔABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E. Hỏi ΔABD, ΔACE là tam giác gì?
Lời giải :Vì D thuộc đường trung trực của AB nên :DA = DB ( đặc thù đường trung trực )=> ΔADB cân tại D .Vì E thuộc đường trung trực của AC nên :EA = EC ( đặc thù đường trung trực )=> ΔAEC cân tại A .
Xem thêm: Tam giác.
Dựa vào những cách giải ở phần dạng bài mà chúng mình đã đưa ra, hãy vận dụng vào để tự giải những bài toán thường gặp ở trên nhé ! Mong rằng những bạn đã hiểu rõ về đặc thù đường trung trực và những dạng bài xoay quanh nó .Như vậy, sau khi đọc bài viết trên, chắc rằng những bạn cũng đã hiểu thêm đường phần nào về đặc thù đường trung trực rồi phải không nào ? Hãy theo dõi GiaiNgo ngay để update thêm nhiều thông tin mới mẻ và lạ mắt và hữu dụng những bạn nhé !
Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn