Nội dung chính
Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải {} bài tập có đáp án
Phương pháp giải: bài toán viết pttt tại 1 điểm
Cho hàm số USD y = f \ left ( x \ right ) \ left ( C \ right ) USD. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $ A \ left ( { { x } _ { 0 } } ; f \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) \ right ) \ in \ left ( C \ right ) USD là
USD y = { f } ‘ \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + f \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) USD .
Trong đó $ { { x } _ { 0 } } $ được gọi là hoành độ tiếp điểm : $ { { y } _ { 0 } } = f \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) USD là tung độ tiếp điểm và USD k = { f } ‘ \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) USD là thông số góc của tiếp tuyến. Điểm $ A \ left ( { { x } _ { 0 } } ; { { y } _ { 0 } } \ right ) USD được gọi là tiếp điểm .
Bài tập viết phương trình tiếp tuyến có đáp án
| Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3\text{x}\left( C \right)$ tại:
a) Điểm $A\left( 1;4 \right)$. Bạn đang đọc: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết – Tự Học 365 b ) Điểm có hoành độ $ { { x } _ { 0 } } = – 1 USD |
Lời giải chi tiết
a ) Ta có : $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 3 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 3 \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( 1 \ right ) = 6 USD .
Do vậy phương trình tiếp tuyến tại $ A \ left ( 1 ; 4 \ right ) USD là USD y = 6 \ left ( x-1 \ right ) + 4 = 6 \ text { x } – 2 USD
b ) Với USD x = { { x } _ { 0 } } = – 1 \ Rightarrow f \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) = – 4 \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) = 6 USD
Do vậy phương trình tiếp tuyến là USD y = 6 \ left ( x + 1 \ right ) – 4 = 6 x + 2 USD
c ) Với $ { { y } _ { 0 } } = 14 \ Rightarrow { { x } ^ { 3 } } + 3 x = 14 \ Leftrightarrow { { x } _ { 0 } } = 2 ; { f } ‘ \ left ( 2 \ right ) = 15 USD
Do vậy phương trình tiếp tuyến là : USD y = 15 \ left ( x-2 \ right ) + 14 = 15 x – 16 USD
d ) Hoành độ giao điểm của $ \ left ( C \ right ) USD và USD d USD là $ { { x } ^ { 3 } } + 3 \ text { x } = 3 x – 8 \ Leftrightarrow x = – 2 USD
Với USD x = – 2 \ Rightarrow y = – 14 \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( – 2 \ right ) = 15 USD. Do đó phương trình tiếp tuyến là USD y = 15 \ left ( x + 2 \ right ) – 14 = 15 x + 16 USD .
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{2x+1}\left( C \right)$. a ) Viết phương trình tiếp tuyến của $ \ left ( C \ right ) USD tại điểm có tung độ $ { { y } _ { 0 } } = 3 $ . b ) Viết phương trình tiếp tuyến của $ \ left ( C \ right ) USD tại giao điểm của $ \ left ( C \ right ) USD với đường thẳng USD d : y = x-2 USD . |
Lời giải chi tiết
Ta có : $ { y } ‘ = \ frac { 5 } { { { \ left ( 2 x + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } $
a ) Ta có : $ { { y } _ { 0 } } = 3 \ Rightarrow \ frac { x-2 } { 2 x + 1 } = 3 \ Leftrightarrow 5 \ text { x } = – 5 \ Leftrightarrow { { x } _ { 0 } } = – 1 \ Rightarrow { y } ‘ \ left ( – 1 \ right ) = 5 USD .
Do vậy phương trình tiếp tuyến là : USD y = 5 \ left ( x + 1 \ right ) + 3 $ hay USD y = 5 x + 8 USD .
b ) Phương trình hoành độ giao điểm của d và $ \ left ( C \ right ) USD là : $ \ frac { x-2 } { 2 x + 1 } = x-2 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } x = 2 \ \ { } x = 0 \ \ \ end { array } \ right. $
Với $ { { x } _ { 0 } } = 2 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = 0 ; { y } ‘ \ left ( 2 \ right ) = \ frac { 1 } { 5 } $ suy ra phương trình tiếp tuyến là : USD y = \ frac { 1 } { 5 } \ left ( x-2 \ right ) USD .
Với $ { { x } _ { 0 } } = 0 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = – 2 ; { y } ‘ \ left ( 0 \ right ) = 5 USD suy ra phương trình tiếp tuyến là : USD y = 5 x – 2 $ .
| Bài tập 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4x+2$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. $y=-x-2$ B. $y=x-2$ C. $y=-x$ D. $y=-x+1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $ { { x } _ { 0 } } = 1 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = – 1 ; { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 3 { { x } ^ { 2 } } – 4 \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( 1 \ right ) = – 1 USD
Do vậy PTTT là: $y=-\left( x-1 \right)-1=-x$. Chọn C.
| Bài tập 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung là:
A. $y=-3x-1$ B. $y=-3x-3$ C. $y=-3x$ D. $y=-3x+3$ |
Lời giải chi tiết
$ \ left ( C \ right ) \ cap Oy = A \ left ( 0 ; – 1 \ right ) USD. Lại có $ { y } ‘ = \ frac { – 3 } { { { \ left ( x-1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ Rightarrow { y } ‘ \ left ( 0 \ right ) = – 3 $
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-1$. Chọn A.
| Bài tập 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}$ tại điểm có hoành độ $x-2$ là:
A. $y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ B. $y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$ C. $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$ D. $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Với USD x = 2 \ Rightarrow y = 1 USD. Lại có $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = \ frac { 1 } { 2 \ sqrt { x + 2 } } + \ frac { 1 } { 2 \ sqrt { 3 – x } } \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( 2 \ right ) = \ frac { 3 } { 4 } $
Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{3}{4}\left( x-2 \right)+1=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+1$ tại điểm ${{x}_{0}}$ thỏa mãn ${{f}’}’\left( {{x}_{0}} \right)=4$ là:
A. $y=-3x+1$ B. $y=-4x-1$ C. $y=4x-1$ D. $y=-4x+1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 3 { { x } ^ { 2 } } – 8 x \ Rightarrow { { f } ‘ } ‘ \ left ( x \ right ) = 6 x – 8 USD .
Giải $ { { f } ‘ } ‘ \ left ( x \ right ) = 4 \ Leftrightarrow { { x } _ { 0 } } = 2 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = – 7 ; { f } ‘ \ left ( 2 \ right ) = – 4 USD
Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x-2 \right)-7=-4x+1$. Chọn D.
| Bài tập 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2$ tại điểm ${{x}_{0}}=-1$ là:
A. $y=4x+1$ B. $y=-4x-1$ C. $y=4x+2$ D. $y=4x+3$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : $ { { x } _ { 0 } } = – 1 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = – 1 USD. Mặt khác $ { y } ‘ = 4 { { x } ^ { 3 } } – 8 x \ Rightarrow { y } ‘ \ left ( – 1 \ right ) = 4 USD
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y=4\left( x+1 \right)-1=4x+3$. Chọn D.
| Bài tập 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{2x+1}\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục hoành là:
A. $y=\frac{1}{5}\left( x-2 \right)$ B. $y=\frac{1}{25}\left( x-2 \right)$ C. $y=\frac{2}{5}\left( x-2 \right)$ D. $y=\frac{-3}{25}\left( x-2 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : $ \ left ( C \ right ) \ cap Ox = A \ left ( 2 ; 0 \ right ) USD. Mặt khác $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = \ frac { 5 } { { { \ left ( 2 x + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( 2 \ right ) = \ frac { 1 } { 5 } $
Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( 2;0 \right)$là: $y=\frac{1}{5}\left( x-2 \right)$. Chọn A.
| Bài tập 9: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3x+1\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm thứ 2 có hoành độ là:
A. 0 B. $-2$ C. 3 D. $-1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : USD x = 1 \ Rightarrow y = 0 ; { f } ‘ \ left ( x \ right ) = 6 { { x } ^ { 2 } } – 3 \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( 1 \ right ) = 3 $ .
Phương trình tiếp tuyến là : USD y = 3 \ left ( x-1 \ right ) \ left ( d \ right ) USD
Xét $d\cap \left( C \right)\Rightarrow 2{{x}^{3}}-3x+1=3\left( x-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
| .Bài tập 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ tại điểm có tung độ bằng $-3$ là:
A. $y=3x+2$ B. $y=5\left( x+1 \right)$ C. $y=3x+5$ D. $y=5x+2$ |
Lời giải chi tiết
Giải $ \ frac { 2 x – 1 } { x + 2 } = – 3 \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } x \ ne – 2 \ \ { } 2 x – 1 = – 3 x – 6 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow x = – 1 USD. Lại có $ { f } ‘ \ left ( x \ right ) = \ frac { 5 } { { { \ left ( x + 2 \ right ) } ^ { 2 } } } \ Rightarrow { f } ‘ \ left ( – 1 \ right ) = 5 USD
Phương trình tiếp tuyến là: $y=5\left( x+1 \right)-3=5x+2$. Chọn D.
| Bài tập 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2$ tại thời điểm có hoành độ $x=-1$ cắt trục hoành tại điểm.
A. $A\left( 0;-1 \right)$ B. $A\left( -\frac{7}{2};0 \right)$ C. $A\left( -\frac{7}{4};0 \right)$ D. $A\left( -\frac{1}{4};0 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có : USD x = – 1 ; y = 3 ; { y } ‘ \ left ( – 1 \ right ) = – 4 USD. Do đó phương trình tiếp tuyến là : USD y = – 4 \ left ( x + 1 \ right ) + 3 = – 4 x – 1 \ left ( d \ right ) USD .
Do đó $d\cap Ox=A\left( \frac{-1}{4};0 \right)$. Chọn D.
| Bài tập 12: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1\left( C \right)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
A. $d=\frac{2}{\sqrt{5}}$ B. $d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ C. $d=\frac{1}{\sqrt{5}}$ D. $d=2$ |
Lời giải chi tiết
Ta có USD x = 1 \ Rightarrow y = 0 ; { f } ‘ \ left ( 1 \ right ) = 8-6 = 2 USD. Do đó phương trình tiếp tuyến là USD y = 2 \ left ( x-1 \ right ) \ left ( d \ right ) USD .
Do đó $d:2\text{x}-y-2=0$ suy ra $d\left( 0;d \right)=\frac{\left| -2 \right|}{5}$. Chọn A.
Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ là: $d=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
| Bài tập 13: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+m\text{x}\left( C \right)$. Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ của $\left( C \right)$ bằng $\sqrt{2}$ là:
A. $\left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=-1 \\ \end{array} \right.$ B. $\left[ \begin{array} {} m=-5 \\ {} m=-3 \\ \end{array} \right.$ C. $\left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array} {} m=-2 \\ {} m=0 \\ \end{array} \right.$. Xem thêm: Tam giác. |
Lời giải chi tiết
Với $ { { x } _ { 0 } } = 1 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = 1 + m ; { f } ‘ \ left ( 1 \ right ) = 3 + m USD. Phương trình tiếp tuyến là : USD y = \ left ( m + 3 \ right ) \ left ( x-1 \ right ) + m + 1 \ left ( d \ right ) USD
$d\left( O;d \right)=\frac{\left| -m-3+m+1 \right|}{\sqrt{{{\left( m+3 \right)}^{2}}+1}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}+1=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn