Lời giải hay cho bải toán tính khoảng cách trong không gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (129.65 KB, 6 trang )

LỜI GIẢI HAY CHO BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN
NGUYỄN PHÚC TÀI biên soạn
Trong đề thi đai học hiện nay đối với môn toán luôn có một câu hình học không
gian và để lấy điểm tuyệt đối trong câu này không phải là chuyện đơn giản. Vậy
hôm nay tôi xin phép được cung cấp thêm cho các bạn một phương pháp mới
trong bài tính khoảng cách “phương pháp chọn điểm rơi”. Chắc có lẽ bạn
đọc sẽ thấy lạ khi nghe đến phương pháp mới lạ này đây chỉ là kinh nghiệm mà tôi
tích lũy được trong khi làm bài khoảng cách nên tôi đã rút ra phương pháp này.
Và tôi biết nhiều bạn cũng đã làm quen và đã giải bài toán khoảng cách theo
hướng này vậy tôi mong các bạn đó đừng xem nhẹ hay khinh thường nó vì
phương pháp này tôi viết ra nhằm phục vụ cho các bạn học sinh trung bình và
học sinh khá của trường THPT Diễn Châu IV để giúp các bạn làm quen trong
cách tính khoảng cách. Trong quá trình tự nghiên cứu không tránh khỏi sự sai
sót vậy tôi mong bạn đọc có sự đóng góp hay thắc mắc gì hãy liên hệ cho tôi qua
số điện thoại 0966097741. NGUYỄN PHÚC TÀI 12C1 thành viên trong hội
LƯƠNG SƠN PRO.
I. Lý thuyết.
Khi gặp một bài toán khoảng cách về hai đường thẳng chéo nhau trong không
gian chúng ta quy về tìm khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
song song với đường thẳng đó rồi lại quy về tìm khoảng cách giữa một điểm
đến mặt phẳng nhưng điểm đó phải thuộc đường thẳng trên. Đến đây tôi xin
cung cấp cho bạn phương pháp chọn điểm rơi. Phương pháp này nói rằng:”
Khi cho một hình học không gian chúng ta cần tìm một điểm Q nào đó mà
điểm đó có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng đáy (Từ bây giờ
ta gọi điểm này là điểm rơi) thì mọi khoảng cách cần tìm chúng ta quy về
tìm khoảng cách từ điểm rơi đó đến mp P nào đó”. ví dụ như cho hình chóp
SABC cóSA vuông góc với {ABC} suy ra điểm rơi ở đây là điểm A. Như vậy
mọi bài toán liên quan đến khoảng cách chúng ta quy về tìm khoảng cách giữa
điểm rơi A với một mặt phẳng P nào đó. Nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng
cách hai đt chéo nhau chúng ta quy về tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt

phẳng bằng cách. Qua đt này kẻ mặt phẳng chứa đt kia và song song với đt còn
lại. Nhiều lúc gặp bài toán phức tạp mà không liên quan đến điểm rơi chúng ta
phải tạo ra sự liên quan đến điểm rơi bằng cách qua điểm rơi chúng ta kẻ
đường thẳng d (nằm ở đáy) vuông góc với mp P với P là mp liên quan đến
khoảng cách từ điểm rơi tới mp P. Một số bài toán người ta bắt tìm khoảng
cách từ một điểm tới mp nào đó thì mp P đã cho trước. Nếu bài toán tìm kc
giữa hai đt chéo nhau thì mp P xác định bằng cách qua đường thẳng này kẻ mp
chứa đt kia và song song với đt còn lại (Thông thường ta nên kẻ mp này đi qua
1 đường thẳng d nằm ở đáy và song song với một đt còn lại mà đt này cũng
nằm ở đáy). Như thế từ điểm rơi chúng ta kẻ đt vuông góc với d và kéo dài cắt
đường thẳng còn lại tại Q thì khoảng cách cần tìm sẽ tỉ lệ (Tuân theo định lí
TA-LET) với khoảng cách từ điểm rơi đến mp P. Trong phần bài tập vận dụng
dưới đây tôi đã đưa ra một số bài toán trong đề thi ĐH các năm trước và có thể
giải quyết theo phương pháp nêu trên. Tôi rất mong bạn đọc hãy xem kĩ
phần lý thuyết và khi xem bài tập vận dụng hãy kết hợp với lý thuyết và
như thế bạn sẽ thấy sự tinh tế trong cách kẻ đường thẳng phụ của tôi
nhưng những gì tôi kẻ đều dựa trên lý thuyết mà ra. Mấu chốt của bài toán
là bạn phài tìm được điểm rơi.
II. Bài tập vận dụng.
1.(TỰ CHẾ ) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A
cạnh 2AB=BC=2a và SA vuông góc với đáy SA=căn2 .a tìm khoảng cách
từ A tới mặt phẳng SBC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Gợi ý
Kẻ AH vuông góc với BC sau đó kẻ AK vuông góc với SH khoảng cách từ
A tới mp SBC là AK (vì BC vuông góc vói mp SAH) Suy ra AK= (Căn6)
∕(Căn11).a
Qua B kẻ đườn thẳng d song song với AC suy ra khoảng cách 2 đường
thẳng AC va SB bằng khoảng cách từ AC tới mặt phẳng SBQ với Q nằm
trên dường thẳng d Từ A kẻ AT vuông góc với SB khoảng cách cần tìm là
AT=?

2. Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC là tam giác dều cạnh
2.căn2.a và có SA vuông góc với đáy SA=a. Gọi E;F là trung điểm của AB
và BC. Tính khỏag cách SE và AF.
Gợi ý
Chọn điểm rơi ở đây là A mọi khoảng cách ta quy về tìm khoảng cách giữa A và
mp P nào đó. Qua E kẻ đường thẳng d song song với AF kẻAK vuông góc với d
kẻ AH vuông góc với SK. Như vậy khoảng cách giữa hai dường thẳng AE và AF
bằng khoảng cách từ A tới mặt phẳng SEK bằng khoảng cách từ A đến mp SEK
va bằng AH.
Tam giác SAK là tam gíac vuông tại A.suy ra AH=a\can3.
3. (ĐHKA 2011) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân tại B,
AB=BC=2a; hai mp SAB và SAC cùng vuông góc với mp ABC. Gọi M là trung
điểm của AB; mp qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai
mp SBC và ABC là 60. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và SN theo a.
Gợi ý
Về câu thể tích chúng ta sẽ học vào năm lớp 12 dáp án V=a^2.3\2
Điểm rơi của bài toán ở đây là A vì vậy qua N kẻ đường thẳng d song song với AB
kẻ AD vuông góc với d kẻ AH vuông góc với SD. Như vậy khoảng cách giữa
haidt AB và SN bằng khoảng cách từ A dến mp SDN và bằng AH kết quả là
AH=2a.(căn39)\13.
4.(ĐHKA 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mp ABC thuộc mp ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA=2HB góc giữa hai đt SC và mp ABC bằng 60. Tính V.SABC và khoảng cách
hai đt SA và BC.
Gợi ý
Góc cần tìm là SCH=60 suy ra V=(căn7).a^3\12
Điểm rơi của bài toán là H.Qua A kẻ đt d song song với BC mọi khoảng cách ta
quy về tim khoảng cách từ H đến mp P nào đó. Qua H kẻ HI vuông góc với d kẻ
HK vuông góc với SI. Như vậy khoảng cách từ A đến mp SAI la HK=a.

(căn42)\12. Bây giờ ta mới đi tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán. Kéo dài HI
cắt BC tại T ta có khoảng cách 2 đt BC và SA bằng khoảng cách từ T tới mp SAI
và bằng 3\2 khoảng cách từ H đến mp SAI suy ra đáp án là= a(căn42)\8.
5.(ĐHKA 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Gọi
M;N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM.
Biết SH vuông góc với mp ABCD và SH=a.căn3 và khoảng cách giữa hai đt DM
và SC.
Gợi ý
Thể tích V=5.a^3.(căn3)\24
Điểm rơi của bài toán là điểm H. Chúng ta sẽ quan tâm đến điểm H này nhiều hơn.
Qua C kẻ đường thẳng d song song với DM kẻ HQ vuông góc với d từ giả thiết
bài toán ta sẽ suy ra ngay điểm Q trùng với điểm C. Kẻ HK vuông góc với SQ.
Như vậy khoảng cách giữa hai đt DM và SC bằng khoảng cách từ H đến mp SCT(
T thuộc đt d) và bằng HK
Tính toán suy ra HK=a.(căn12)\(căn19).
6.(Thi thử ĐH Diển Châu 4) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy
và SA=a. Biết ABCD là hình thang vuông tại A và B. CB=2AB=2a và SC vuông
góc với BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đt AB và
SM; với M là trung điểm của BC.
Gợi ý
Điểm rơi của bài toán là A.Vì SC vuông góc với BD nên AC vuông góc với
BD( định lý về hình chiếu vuông góc trong SGK hình học 11). Từ dữ kiện này xin
mời bạn đọc tính các cạnh của hình thang và từ đó suy ra V=?
Qua M kẻ đt d song song với AB cắt AD tại Q; kẻ AK vuông góc với SQ. Như
vậy khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng SMQ và bằng
AK thông qua các cạnh của hình thoi chúng ta có thể dễ dàng tìm được AK=?
Bài tập tự giải:
1. Tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B; AC=2a; SA vuông
góc mp ABC và SA=a. Tính khoảng cách từ trung điểm của AC tới mp
SBC.

ĐS: a\(căn6)
2. Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB
là tam giác đều nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M;N;P là trung điểm
của các cạnh BC; SD; SB. Tính khoảng cách giữa hai đt MN và AP.
ĐS: a\2
3. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với AD=2a; AB=a, SA=a.
(căn2) là đường cao của hình chóp. Gọi E là trung điểm của BC. Tính
khoảng cách giữa hai đt AD và SE.
ĐS: a.(căn2)\3
4. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a,
OC=a(căn3). Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đt
AB và OM.
ĐS: a.(căn15)\5
5.(ĐHKD 2011) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a,
BC=4a, mp SBC vuông góc với mp ABC. Biết SB=2a(căn3) và góc SBC=30.
Tính V SABC và khoảng cách từ B đến mp SAC.
ĐS: V=2a^3.(căn3).
Khoảng cách= 6a\(căn7).
Thế nào bạn thấy phương pháp chọn điểm rơi của tôi hiệu quả chứ mọi ý
kiến đánh giá xin mong các bạn cho lời nhận xét qua số điện thoại 09660…
(Trích những mẹo vặt trong toán học của Tài pro nếu các bạn muốn tìm
hiểu thêm một số mẹo vặt này để phục vụ cho thi ĐH thì hãy liên hệ cho tôi).
phẳng bằng cách. Qua đt này kẻ mặt phẳng chứa đt kia và song song với đt cònlại. Nhiều lúc gặp bài toán phức tạp mà không tương quan đến điểm rơi chúng taphải tạo ra sự tương quan đến điểm rơi bằng cách qua điểm rơi tất cả chúng ta kẻđường thẳng d ( nằm ở đáy ) vuông góc với mp P. với P. là mp tương quan đếnkhoảng cách từ điểm rơi tới mp P. Một số bài toán người ta bắt tìm khoảngcách từ một điểm tới mp nào đó thì mp P. đã cho trước. Nếu bài toán tìm kcgiữa hai đt chéo nhau thì mp P. xác lập bằng cách qua đường thẳng này kẻ mpchứa đt kia và song song với đt còn lại ( Thông thường ta nên kẻ mp này đi qua1 đường thẳng d nằm ở đáy và song song với một đt còn lại mà đt này cũngnằm ở đáy ). Như thế từ điểm rơi tất cả chúng ta kẻ đt vuông góc với d và lê dài cắtđường thẳng còn lại tại Q. thì khoảng cách cần tìm sẽ tỉ lệ ( Tuân theo định líTA-LET ) với khoảng cách từ điểm rơi đến mp P. Trong phần bài tập vận dụngdưới đây tôi đã đưa ra 1 số ít bài toán trong đề thi ĐH những năm trước và có thểgiải quyết theo giải pháp nêu trên. Tôi rất mong bạn đọc hãy xem kĩphần triết lý và khi xem bài tập vận dụng hãy phối hợp với kim chỉ nan vànhư thế bạn sẽ thấy sự tinh xảo trong cách kẻ đường thẳng phụ của tôinhưng những gì tôi kẻ đều dựa trên triết lý mà ra. Mấu chốt của bài toánlà bạn phài tìm được điểm rơi. II. Bài tập vận dụng. 1. ( TỰ CHẾ ) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh Acạnh 2AB = BC = 2 a và SA vuông góc với đáy SA = căn2. a tìm khoảng chừng cáchtừ A tới mặt phẳng SBC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.Gợi ýKẻ AH vuông góc với BC sau đó kẻ AK vuông góc với SH khoảng cách từA tới mp SBC là AK ( vì BC vuông góc vói mp SAH ) Suy ra AK = ( Căn6 ) ∕ ( Căn11 ). aQua B kẻ đườn thẳng d song song với AC suy ra khoảng cách 2 đườngthẳng AC va SB bằng khoảng cách từ AC tới mặt phẳng SBQ với Q nằmtrên dường thẳng d Từ A kẻ AT vuông góc với SB khoảng cách cần tìm làAT = ? 2. Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC là tam giác dều cạnh2. căn2. a và có SA vuông góc với đáy SA = a. Gọi E ; F là trung điểm của ABvà BC. Tính khỏag cách SE và AF.Gợi ýChọn điểm rơi ở đây là A mọi khoảng cách ta quy về tìm khoảng cách giữa A vàmp P. nào đó. Qua E kẻ đường thẳng d song song với AF kẻAK vuông góc với dkẻ AH vuông góc với SK. Như vậy khoảng cách giữa hai dường thẳng AE và AFbằng khoảng cách từ A tới mặt phẳng SEK bằng khoảng cách từ A đến mp SEKva bằng AH.Tam giác SAK là tam gíac vuông tại A.suy ra AH = a \ can3. 3. ( ĐHKA 2011 ) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = 2 a ; hai mp SAB và SAC cùng vuông góc với mp ABC. Gọi M là trungđiểm của AB ; mp qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa haimp SBC và ABC là 60. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa haiđường thẳng AB và SN theo a. Gợi ýVề câu thể tích tất cả chúng ta sẽ học vào năm lớp 12 dáp án V = a ^ 2.3 \ 2 Điểm rơi của bài toán ở đây là A thế cho nên qua N kẻ đường thẳng d song song với ABkẻ AD vuông góc với d kẻ AH vuông góc với SD. Như vậy khoảng cách giữahaidt AB và SN bằng khoảng cách từ A dến mp SDN và bằng AH hiệu quả làAH = 2 a. ( căn39 ) \ 13.4. ( ĐHKA 2012 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếuvuông góc của S trên mp ABC thuộc mp ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao choHA = 2HB góc giữa hai đt SC và mp ABC bằng 60. Tính V.SABC và khoảng chừng cáchhai đt SA và BC.Gợi ýGóc cần tìm là SCH = 60 suy ra V = ( căn7 ). a ^ 3 \ 12 Điểm rơi của bài toán là H.Qua A kẻ đt d song song với BC mọi khoảng cách taquy về tim khoảng cách từ H đến mp P. nào đó. Qua H kẻ HI vuông góc với d kẻHK vuông góc với SI. Như vậy khoảng cách từ A đến mp SAI la HK = a. ( căn42 ) \ 12. Bây giờ ta mới đi tìm khoảng cách theo nhu yếu bài toán. Kéo dài HIcắt BC tại T ta có khoảng cách 2 đt BC và SA bằng khoảng cách từ T tới mp SAIvà bằng 3 \ 2 khoảng cách từ H đến mp SAI suy ra đáp án là = a ( căn42 ) \ 8.5. ( ĐHKA 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông vắn ABCD cạnh a. GọiM ; N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM.Biết SH vuông góc với mp ABCD và SH = a. căn3 và khoảng cách giữa hai đt DMvà SC.Gợi ýThể tích V = 5. a ^ 3. ( căn3 ) \ 24 Điểm rơi của bài toán là điểm H. Chúng ta sẽ chăm sóc đến điểm H này nhiều hơn. Qua C kẻ đường thẳng d song song với DM kẻ HQ vuông góc với d từ giả thiếtbài toán ta sẽ suy ra ngay điểm Q trùng với điểm C. Kẻ HK vuông góc với SQ.Như vậy khoảng cách giữa hai đt DM và SC bằng khoảng cách từ H đến mp SCT ( T thuộc đt d ) và bằng HKTính toán suy ra HK = a. ( căn12 ) \ ( căn19 ). 6. ( Thi thử ĐH Diển Châu 4 ) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáyvà SA = a. Biết ABCD là hình thang vuông tại A và B. CB = 2AB = 2 a và SC vuônggóc với BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đt AB vàSM ; với M là trung điểm của BC.Gợi ýĐiểm rơi của bài toán là A.Vì SC vuông góc với BD nên AC vuông góc vớiBD ( định lý về hình chiếu vuông góc trong SGK hình học 11 ). Từ dữ kiện này xinmời bạn đọc tính những cạnh của hình thang và từ đó suy ra V = ? Qua M kẻ đt d song song với AB cắt AD tại Q. ; kẻ AK vuông góc với SQ. Nhưvậy khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng SMQ và bằngAK trải qua những cạnh của hình thoi tất cả chúng ta hoàn toàn có thể thuận tiện tìm được AK = ? Bài tập tự giải : 1. Tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B ; AC = 2 a ; SA vuônggóc mp ABC và SA = a. Tính khoảng cách từ trung điểm của AC tới mpSBC. ĐS : a \ ( căn6 ) 2. Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông vắn cạnh a ; mặt bên SABlà tam giác đều nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M ; N ; P. là trung điểmcủa những cạnh BC ; SD ; SB. Tính khoảng cách giữa hai đt MN và AP.ĐS : a \ 23. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2 a ; AB = a, SA = a. ( căn2 ) là đường cao của hình chóp. Gọi E là trung điểm của BC. Tínhkhoảng cách giữa hai đt AD và SE.ĐS : a. ( căn2 ) \ 34. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a ( căn3 ). Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đtAB và OM.ĐS : a. ( căn15 ) \ 55. ( ĐHKD 2011 ) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA = 3 a, BC = 4 a, mp SBC vuông góc với mp ABC. Biết SB = 2 a ( căn3 ) và góc SBC = 30. Tính V SABC và khoảng cách từ B đến mp SAC.ĐS : V = 2 a ^ 3. ( căn3 ). Khoảng cách = 6 a \ ( căn7 ). Thế nào bạn thấy giải pháp chọn điểm rơi của tôi hiệu suất cao chứ mọi ýkiến nhìn nhận xin mong những bạn cho lời nhận xét qua số điện thoại thông minh 09660 … ( Trích những mẹo vặt trong toán học của Tài pro nếu những bạn muốn tìmhiểu thêm 1 số ít mẹo vặt này để Giao hàng cho thi ĐH thì hãy liên hệ cho tôi ) .

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn