1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử \ ( A \ ) là biến cố tương quan đến phép thử \ ( T \ ) và phép thử \ ( T \ ) có 1 số ít hữu hạn tác dụng hoàn toàn có thể có, đồng năng lực. Khi đó ta gọi tỉ số \ ( \ frac { n ( A ) } { n ( \ Omega ) } \ ) là xác suất của biến cố \ ( A \ ), kí hiệu là\ ( P. ( A ) \ ) = \ ( \ frac { n ( A ) } { n ( \ Omega ) } \ )

Trong đó,

+ ) \ ( n ( A ) \ ) là số thành phần của tập hợp \ ( A \ ), cũng chính là số các hiệu quả hoàn toàn có thể có của phép thử \ ( T \ ) thuận tiện cho biến cố \ ( A \ ) ;+ ) \ ( n ( Ω ) \ ) là số thành phần của khoảng trống mẫu \ ( Ω \ ), cũng chính là số các tác dụng hoàn toàn có thể có của phép thử \ ( T \ ) .

Ví dụ:

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt Open là mặt có số chia hết cho \ ( 3 \ ) .Hướng dẫn :Không gian mẫu \ ( \ Omega = \ left \ { { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } \ right \ } \ )\ ( \ Rightarrow n \ left ( \ Omega \ right ) = 6 \ ) .Biến cố \ ( A : \ ) Mặt Open có số chia hết cho \ ( 3 \ ) .Khi đó \ ( A = \ left \ { { 3 ; 6 } \ right \ } \ )\ ( \ Rightarrow n \ left ( A \ right ) = 2 \ ) .Vậy xác suất \ ( P \ left ( A \ right ) = \ frac { { n \ left ( A \ right ) } } { { n \ left ( \ Omega \ right ) } } = \ frac { 2 } { 6 } = \ frac { 1 } { 3 } \ ) .

2. Các tính chất cơ bản của xác suất

2.1 Định lí

a ) \ ( P. ( \ phi ) = 0 ; P. ( Ω ) = 1 \ ) .b ) \ ( 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 \ ), với mọi biến cố \ ( A \ ) .c ) Nếu \ ( A \ ) và \ ( B \ ) xung khắc với nhau, thì ta có\ ( P. ( A ∪ B ) = P ( A ) + P. ( B ) \ ) ( công thức cộng xác suất ) .

2.2 Hệ quả

Với mọi biến cố \ ( A \ ), ta luôn luôn có : \ ( P \ ) ( \ ( \ overline { A } \ ) ) = \ ( 1 – P. ( A ) \ ) .

3. Hai biến cố độc lập

Định nghĩa

Hai biến cố ( tương quan đến cùng một phép thử ) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tác động đến xác suất xảy ra của biến cố kia ( nói cách khác là không làm tác động ảnh hưởng đến năng lực xảy ra của biến cố kia ) .

Định lí

Nếu \(A, B\) là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho \(P(A) > 0\),

\ ( P. ( B ) > 0 \ ) thì ta có :a ) \ ( A \ ) và \ ( B \ ) là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi :\ ( P. ( A. B ) = P ( A ). P ( B ) \ )Chú ý : Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố .b ) Nếu \ ( A \ ) và \ ( B \ ) độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau :\ ( A \ ) và \ ( \ overline { B } \ ), \ ( \ overline { A } \ ) và \ ( B \ ), \ ( \ overline { A } \ ) và \ ( \ overline { B } \ ) .

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau :\ ( A : \ ) “ Lần thứ nhất Open mặt \ ( 4 \ ) chấm ”\ ( B : \ ) “ Lần thứ hai Open mặt \ ( 4 \ ) chấm ”Từ đó suy ra hai biến cố \ ( A \ ) và \ ( B \ ) độc lập .Hướng dẫnKhông gian mẫu : \ ( \ Omega = \ left \ { { \ left ( { i ; j } \ right ), i, j \ in \ mathbb { Z }, 1 \ le i \ le 6,1 \ le j \ le 6 } \ right \ } \ )

\ ( \ Rightarrow n \ left ( \ Omega \ right ) = 6.6 = 36 \ ) .Biến cố \ ( A : \ ) “ Lần thứ nhất Open mặt \ ( 4 \ ) chấm ”\ ( A = \ left \ { { \ left ( { 4 ; 1 } \ right ), \ left ( { 4 ; 2 } \ right ), \ left ( { 4 ; 3 } \ right ), \ left ( { 4 ; 4 } \ right ), \ left ( { 4 ; 5 } \ right ), \ left ( { 4 ; 6 } \ right ) } \ right \ } \ )\ ( \ Rightarrow n \ left ( A \ right ) = 6 \ )\ ( \ Rightarrow P \ left ( A \ right ) = \ frac { { n \ left ( A \ right ) } } { { n \ left ( \ Omega \ right ) } } = \ frac { 6 } { { 36 } } = \ frac { 1 } { 6 } \ ) .Biến cố \ ( B : \ ) “ Lần thứ hai Open mặt \ ( 4 \ ) chấm ”\ ( B = \ left \ { { \ left ( { 1 ; 4 } \ right ), \ left ( { 2 ; 4 } \ right ), \ left ( { 3 ; 4 } \ right ), \ left ( { 4 ; 4 } \ right ), \ left ( { 5 ; 4 } \ right ), \ left ( { 6 ; 4 } \ right ) } \ right \ } \ )\ ( \ Rightarrow n \ left ( B \ right ) = 6 \ )\ ( \ Rightarrow P \ left ( B \ right ) = \ frac { { n \ left ( B \ right ) } } { { n \ left ( \ Omega \ right ) } } = \ frac { 6 } { { 36 } } = \ frac { 1 } { 6 } \ ) .Gọi \ ( C = A.B \ ) là biến cố : “ Cả hai lần đều Open mặt \ ( 4 \ ) chấm ” .

Khi đó \(C = \left\{ {\left( {4;4} \right)} \right\}\)

\ ( \ Rightarrow P \ left ( { A.B } \ right ) = \ frac { { n \ left ( C \ right ) } } { { n \ left ( \ Omega \ right ) } } = \ frac { 1 } { { 36 } } \ ) .Dễ thấy \ ( P \ left ( { A.B } \ right ) = P \ left ( A \ right ). P \ left ( B \ right ) \ ) nên \ ( A, B \ ) là hai biến cố độc lập .

Loigiaihay.com

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn