139.180.218.5

Byadnhacly

Th3 19, 2022

Vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai là một kĩ năng cần đạt so với các bạn học viên lớp 10 1. Trong nhiều trường hợp, thậm chí còn với thông số chứa căn hay tham số, nếu biết nhẩm nghiệm thì học viên sẽ nhanh gọn tìm được nghiệm mà không cần phải nháp hay sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong SGK Đại số 10 thì mục này chỉ được trình làng sơ lược và không có nhiều bài tập vận dụng cho việc tính nhẩm. Đó là lí do bài viết này sinh ra .

Nội dung chính

1 1. Cơ sở tính nhẩm
2 2. Các dạng tính nhẩm thường gặp
3 3. Một số ví dụ vận dụng
4 4. Bình luận
- 4.1 Share this:
- 4.2 Related

1. Cơ sở tính nhẩm

Cơ sở tính nhẩm xuất phát từ định lí Vi-ét quen thuộc sau : 2

Định lí Vi-ét

Định lý gồm 2 phần, thuận và đảo:

Bạn đang đọc: Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai – http://139.180.218.5

* Nếu phương trình trình $ax^2 + bx + c = 0\ (a\ne 0)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

* Ngược lại, nếu hai số $u$ và $v$ có tổng $u+v=S$ và tích $uv=P$ thì và là các nghiệm của phương trình

$x^2 - Sx + P = 0$

2. Các dạng tính nhẩm thường gặp

Từ phần hòn đảo, thuận tiện suy ra các tác dụng sau .

Loại 1: a = 1, b = tổng, c = tích

* Nếu phương trình có dạng $x^2 - (u+v)x + uv = 0$ thì phương trình đó có hai nhiệm và .

* Nếu phương trình có dạng $x^2 + (u+v)x + uv = 0$ thì phương trình có hai nghiệm $-u$ và $-v$

Tóm lại :

$x^2 - (u+v)x + uv = 0\Rightarrow x_1 = u, x_2 = v\ (1)$

$x^2 + (u+v)x + uv = 0\Rightarrow x_1 = -u, x_2 = -v$

Như vậy, với loại này bạn cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số $c$ thành tích và $b$ thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, bạn nên nhẩm hệ số trước rồi kết hợp với để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng và tổng bằng .

Khi triển khai, bạn nhẩm trong đầu như sau :

Tích của hai nghiệm bằng, mà tổng lại bằng

Ví dụ phương trình

* $x^2 - 5x + 6 = 0$

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2.3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2,x=3$

* $x^2 - 7x + 10 = 0$

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2.5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2,x=5$

Loại 2: a + b + c = 0 và a – b + c = 0

* Nếu thay $v=1$ vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc $a + b + c = 0$ , với $a=1, b=-(u+1), c=u$ .

* Nếu thay $v=-1$ vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm $a - b + c = 0$ , với $a=1, b=-(u-1), c=-u$ .

Do loại này đã quá quen thuộc với bạn, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung chuyên sâu vào loại 1 và loại 3 .

Loại 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu $u\ne 0$ và $v=\frac{1}{u}$ thì phương trình (1) có dạng

$x^2 - (u+\frac{1}{u})x + u.\frac{1}{u} = 0\Leftrightarrow u.x^2 - (u^2 + 1)x + u = 0$

Xem thêm: Stt bầu trời – Những câu nói, cap hay về bầu trời

khi đó phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau $x=u,x=\frac{1}{u}$ . Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình

* $2x^2 - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm $x=2,x=\frac{1}{2}$

* $3x^2 - 10x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x=3,x=\frac{1}{3}$

Loại 4: Những trường hợp còn lại

Với một phương trình có hệ số $a\ne 1$ mà không phải loại 2, loại 3 thì bạn nên chia cả hai vế cho $a$ , quy về loại 1 để nhẩm. Còn nếu vẫn không nhẩm được thì bạn biết phải làm gì rồi chứ 😀3

3. Một số ví dụ vận dụng

Ví dụ 1. Phương trình

* $x^2 - 8x + 12 = 0$ có hai nghiệm $x=2,x=6$ vì 12 = 2.6 và 8 = 2 + 6

* $x^2 - 7x + 12 = 0$ có hai nghiệm $x=3,x=4$ vì 12 = 3.4 và 7 = 3 + 4

* $x^2 - x - 12 = 0$ có hai nghiệm $x=-3,x=4$ vì -12 = (-3).4 và 1 = (-3) + 4

* $x^2 + x - 12 = 0$ có hai nghiệm $x=3,x=-4$ vì -12 = 3.(-4) và -1 = 3 + (-4)

* $x^2 - 4x - 12 = 0$ có hai nghiệm $x=-2,x=6$ vì -12 = (-2).6 và 4 = (-2) + 6

* $x^2 + 4x - 12 = 0$ có hai nghiệm $x=2,x=-6$ vì -12 = 2.(-6) và -4 = 2 + (-6)

Ví dụ 2. Phương trình

* $x^2 -(m+4)x+ 3m+3 = 0$ 4 có hai nghiệm $x=3,x=m+1$ , vì nó có dạng

$x^2 -[(m+1)+3]x+ 3(m+1) = 0$

* $x^2 -(2m+1)x+m^2 + m = 0$ có hai nghiệm $x=m,x=m+1$ , vì nó có dạng

$x^2 -[m+(m+1)]x+ m(m+1) = 0$

* $x^2 -2mx+m^2-1 = 0$ có hai nghiệm $x=m-1,x=m+1$ , vì nó có dạng

$x^2 -[(m-1)+(m+1)]x+ (m-1)(m+1) = 0$

Ví dụ 3. Phương trình

* $\sqrt{2}x^2 - (2\sqrt{2}+1)x + 2 = 0$ có hai nghiệm $x=2,x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 5

* $x^2 - (\log{6})x + \log{2}.\log{3} = 0$ có hai nghiệm $x=\log{2},x=\log{3}$ 6

* $x^2-(3-2^x )x+2(1-2^x )=0\Leftrightarrow x=2,x=1-2^x$ 7

4. Bình luận

Khi mới làm quen với tính nhẩm, có thể bạn sẽ gặp một chút khó khăn, nhưng đừng vì thế mà ngại khó và bỏ cuộc. Hãy tưởng tượng thành quả mà tính nhẩm đem lại cho bạn là “không đếm được” so với những “trở ngại đếm được” mà bạn đang phải đối mặt. Bạn sẽ có thêm động lực tiến lên.

Xem thêm: #99 STT Anh Em, Cap về tình anh em trong xã hội chất nhất – Babelgraph

“	Đừng cảm thấy tiếc vì bụi hoa hồng có gai mà hãy vui vì trong bụi gai có hoa hồng.	”
	— Abraham Lincoln

Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpageđể nhận được thông tin khi có update mới .