Chứng minh trung điểm là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán Trung học Cơ sở. Vậy cụ thể trung điểm là gì? Cách chứng minh trung điểm lớp 8 lớp 9 có gì giống và khác nhau? Cách giải bài toán chứng minh o là trung điểm ef?… Trong bài viết dưới đây, bachgiamedia.com.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Mục lục2 Những cách chứng minh trung điểm phổ biến và điển hình2.5 Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

Trung điểm là gì?

2 Những cách chứng minh trung điểm phổ cập và điển hình2. 5 Cách chứng minh trung điểm dựa vào đặc thù đối xứng

Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) là điểm nằm giữa \( A,B \) và cách đều \( A,B \) hay \( MA =MB \). Trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) còn được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng \( AB \)

* * * Chú ý : Điểm \ ( M \ ) nằm giữa hai điểm \ ( A, B \ ) \ ( \ Leftrightarrow MA + MB = AB \ )

Những cách chứng minh trung điểm phổ biến và điển hình

Để chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng thì tất cả chúng ta cần sử dụng những đặc thù hình học có tương quan đến trung điểm. Dưới đây là một số ít cách CM trung điểm cơ bản .Bạn đang xem : Cách chứng minh trung điểm

Cách chứng minh trung điểm lớp 6 – chứng minh theo định nghĩa

Để chứng minh điểm \ ( M \ ) là trung điểm của đoạn thẳng \ ( AB \ ) thì ta cần chứng minh đồng thời \ ( M \ ) nằm giữa \ ( A, B \ ) và \ ( MA + MB \ )Ví dụ :Cho đoạn thẳng \ ( AB = 8 cm \ ) có \ ( M \ ) là trung điểm \ ( AB \ ). Trên \ ( AB \ ) lấy hai điểm \ ( C, D \ ) sao cho \ ( AC = BD = 3 cm \ ). Chứng minh \ ( M \ ) là trung điểm \ ( CD \ )Cách giải :
Vì \ ( M \ ) là trung điểm \ ( AB \ ) nên \ ( MA = MB = 4 cm \ )Vì \ ( M, C \ ) cùng phía với \ ( A \ ) mà \ ( AM > AC \ ) nên \ ( C \ ) nằm giữa \ ( AM \ )\ ( \ Rightarrow MC = MA-CA = 1 cm \ )Tương tự ta có \ ( MD = 1 cm \ )Mặt khác : \ ( CD = AB-AC-BD = 2 cm \ )Như vậy ta có :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } MC = MD = 1 cm \ \ MC + MD = CD \ end { matrix } \ right. \ )\ ( \ Rightarrow M \ ) là trung điểm \ ( CD \ )

Cách chứng minh trung điểm lớp 7 – dựa vào các tính chất của tam giác

Để chứng minh theo cách này thì trước hết tất cả chúng ta cần nắm vững những đặc thù tương quan đến trung điểm trong tam giác .Cho tam giác \ ( ABC \ ) với \ ( M, N, P \ ) lần lượt là trung điểm của \ ( BC, CA, AB \ )Khi đó :\ ( AM, BN, CP \ ) lần lượt được gọi là những đường trung tuyến của cạnh \ ( BC, CA, AB \ ). 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm \ ( G \ ) được gọi là trọng tâm của tam giác \ ( ABC \ ). 3 đoạn thẳng \ ( MN, NP, PM \ ) được gọi là những đường trung bình của tam giác \ ( ABC \ )Tính chất trọng tâm: Nếu \( G \) là trọng tâm tam giác \( ABC \) thì \( AG,BG,CG \) lần lượt đi qua trung điểm của \( BC,CA,AB \). Đồng thời : \(\frac{AG}{AM}=\frac{BG}{BN}=\frac{CG}{CP}=\frac{2}{3}\)Tính chất đường trung bình: Nếu \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \) thì \( MN \) song song và bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đáy tương ứng.Tính chất trọng tâm : Nếu \ ( G \ ) là trọng tâm tam giác \ ( ABC \ ) thì \ ( AG, BG, CG \ ) lần lượt đi qua trung điểm của \ ( BC, CA, AB \ ). Đồng thời : \ ( \ frac { AG } { AM } = \ frac { BG } { BN } = \ frac { CG } { CP } = \ frac { 2 } { 3 } \ ) Tính chất đường trung bình : Nếu \ ( MN \ ) là đường trung bình của tam giác \ ( ABC \ ) thì \ ( MN \ ) song song và bằng \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ ) cạnh đáy tương ứng .Xem thêm : 2 Cách Chuyển Số Điện Thoại 11 Số Về 10 SốVí dụ :Cho tam giác \ ( ABC \ ) có \ ( AB > BC \ ). \ ( BE \ ) là phân giác và \ ( BD \ ) là trung tuyến. Đường thẳng qua \ ( C \ ) vuông góc với \ ( BE \ ) cắt \ ( BE, BD, BA \ ) lần lượt tại \ ( F, G, K \ ) \ ( DF \ ) cắt \ ( BC \ ) tại \ ( M \ ). Chứng minh rằng : \ ( M \ ) là trung điểm đoạn \ ( BC \ )Cách giải :Xét \ ( \ Delta BCK \ ) có\ ( BF \ ) vừa là đường cao, vừa là phân giác nên \ ( \ Delta BCK \ ) cân tại \ ( B \ )\ ( \ Rightarrow BC = BK \ ) và \ ( BF \ ) là trung tuyến\ ( \ Rightarrow CF = FK \ ) .Xét \ ( \ Delta CKA \ ) có\ ( CF = FK ; CD = DA \ ) \ ( \ Rightarrow FD \ ) là đường trung bình\ ( \ Rightarrow FD / / AB \ Leftrightarrow MD / / AB \ )Mà \ ( CD = DA \ ) nên \ ( \ Rightarrow \ frac { CM } { CB } = \ frac { CD } { CA } = \ frac { 1 } { 2 } \ )\ ( \ Rightarrow M \ ) là trung điểm \ ( BC \ ) .

Cách chứng minh trung điểm lớp 8 – dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt

Trong phần này tất cả chúng ta sẽ sử dụng 1 số ít đặc thù trung điểm của những tứ giác đặc biệt quan trọng như sauĐường trung bình hình thangĐường trung bình hình thang

Cho hình thang \ ( ABCD \ ) hai đáy là \ ( AB, CD \ ). Khi đó \ ( MN \ ) được gọi là đường trung bình của hình thang \ ( ABCD \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } MN \ parallel AB \ \ MN = \ frac { AB + CD } { 2 } \ end { matrix } \ right. \ ) và \ ( M, N \ ) là trung điểm của \ ( AB, BC \ )Đường chéo hình bình hànhĐường chéo hình bình hànhCho hình bình hành \ ( ABCD \ ) với hai đường chéo \ ( AC, BD \ ). Khi đó \ ( AC \ ) cắt \ ( BD \ ) tại trung điểm của mỗi đoạn .* * * Chú ý : Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là những trường hợp đặc biệt quan trọng của hình bình hành nên cũng có đặc thù nêu trênVí dụ :Cho hình bình hành \ ( ABCD \ ) với \ ( I \ ) là giao điểm của \ ( AC, BD \ ). Lấy \ ( M \ ) là điểm bất kỳ nằm trên \ ( CD \ ). \ ( MI \ ) cắt \ ( AB \ ) tại \ ( N \ ). Chứng minh rằng \ ( I \ ) là trung điểm MNCách giải :Vì \ ( ABCD \ ) là hình bình hành mà \ ( I \ ) là giao điểm của hai đường chéo nên ta có : \ ( DI = MI \ )Xét \ ( \ Delta DIM \ ) và \ ( \ Delta BIN \ ) có :\ ( \ widehat { DIM } = \ widehat { BIN } \ ) ( hai góc đối đỉnh )\ ( DI = BI \ ) ( chứng minh trên )\ ( \ widehat { MDI } = \ widehat { NBI } \ ) ( hai góc so le trong )Vậy \ ( \ Rightarrow \ Delta DIM = \ Delta BIN \ ) ( góc – cạnh – góc )Vậy \ ( \ Rightarrow IN = IM \ ) hay \ ( I \ ) là trung điểm \ ( MN \ )

Cách chứng minh trung điểm lớp 9 – dựa vào các tính chất của đường tròn

Trong phần này tất cả chúng ta sẽ sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn :Cho đường tròn tâm \ ( O \ ) đường kính \ ( AB \ ). \ ( MN \ ) là một dây cung bất kể của đường tròn. Khi đó, nếu \ ( AB \ bot MN \ Rightarrow \ ) \ ( AB \ ) đi qua trung điểm của \ ( MN \ ) và ngược lại, nếu \ ( AB \ ) đi qua trung điểm của \ ( MN \ ) thì \ ( AB \ bot MN \ )Ví dụ :Cho tam giác \ ( ABC \ ) nhọn \ ( ( ABCách giải :Vì \ ( MA, MB \ ) là những tiếp tuyến kẻ từ \ ( M \ ) của đường tròn \ ( ( O ) \ ) nên \ ( \ Rightarrow MA = MB \ )Xét \ ( \ Delta MAO \ ) và \ ( \ Delta MBO \ ) có\ ( MA = MB \ ) ( chứng minh trên )\ ( MO \ ) chung\ ( OA = OB \ ) ( nửa đường kính \ ( ( O ) \ ) )Vậy \ ( \ Rightarrow \ Delta MAO = \ Delta MBO \ ) ( cạnh – cạnh – cạnh )\ ( \ Rightarrow \ widehat { MOA } = \ widehat { MOB } \ )\ ( \ Rightarrow \ widehat { MOA } = \ frac { \ widehat { AOB } } { 2 } \ hspace { 1 cm } ( 1 ) \ )Vì \ ( PQ \ parallel BC \ Rightarrow \ widehat { MEA } = \ widehat { BCA } \ ) ( đồng vị )Mà \ ( \ widehat { BCA } = \ frac { \ widehat { AOB } } { 2 } \ Rightarrow \ widehat { MEA } = \ frac { \ widehat { AOB } } { 2 } \ hspace { 1 cm } ( 2 ) \ )Từ \ ( ( 1 ) ( 2 ) \ Rightarrow \ widehat { MEA } = \ widehat { MOA } \ )\ ( \ Rightarrow \ ) tứ giác \ ( MOEA \ ) nội tiếp\ ( \ Rightarrow \ widehat { MEO } = \ widehat { MAO } = 90 ^ { \ circ } \ ) ( do \ ( MA \ ) là tiếp tuyến )\ ( \ Rightarrow EO \ ) vuông góc với dây cung \ ( PQ \ )\ ( \ Rightarrow E \ ) là trung điểm \ ( PQ \ )

Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng

Đối xứng trục

Hai điểm \ ( A, B \ ) đối xứng với nhau qua đường thẳng \ ( d \ ) nếu \ ( d \ ) là đường trung trực của \ ( AB \ ). Khi đó \ ( AB \ bot d \ ) và \ ( d \ ) đi qua trung điểm của \ ( AB \ )Đối xứng tâmHai điểm \ ( A, B \ ) đối xứng với nhau qua điểm \ ( O \ ) nếu như \ ( O \ ) là trung điểm của \ ( AB \ )

Bài viết trên đây của bachgiamedia.com.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về chuyên đề CM trung điểm cũng như cách chứng minh trung điểm phù hợp với từng đối tượng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề chứng minh trung điểm. Chúc bạn luôn học tốt!

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn