Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho hai đường thẳng ( d ) và ( d ’ ) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng này đến đường thẳng kia .d ( d ; d ’ ) = d ( A ; d ’ ) trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d .⇒ Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần :+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát .+ Lấy một điểm A bất kể thuộc đường thẳng d .+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ’ .+ Kết luận : d ( d ; d ’ ) = d ( A ; d ’ ) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x – 8y – 101 = 0 và d: 3x – 4y = 0 là:

A. 10, 1
   B. 1,01
   C. 12
   D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau : d / / ∆ .+ Lấy điểm O ( 0 ; 0 ) thuộc đường thẳng d .+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d(∆; d) = d ( O; ∆) =
= 10,1

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y – 3 = 0 và
∆:
.

A.
   B. 15
   C. 9
   D.

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát :

∆:

⇒ Phương trình ∆ : 7 ( x + 2 ) + 1 ( y – 2 ) = 0 hay 7 x + y + 12 = 0

Ta có:
nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) =

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.
   B. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.

C. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.
   D. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M ( x ; y ) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔
= 2

|3x – 4y + 2| = 10 ⇒

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :3 x – 4 y + 12 = 0 và 3 x – 4 y – 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y – 3 = 0
và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:

A. 5x + 3y – 2 = 0
   B. 5x + 3y + 4 = 0
   C. 5x + 3y + 2 = 0
   D. 5x + 3y – 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x ; y ) thuộc đường thẳng d. Suy ra :

d(M(x; y); d1)=d(M(x; y); d2) ⇔

⇔

Đường thẳng d : 5 x + 3 y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2 .Vậy đường thẳng d thỏa mãn nhu cầu là : 5 x + 3 y + 2 = 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d:
và đường thẳng ∆:
. Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1
   B. 0.
   C. 2
   D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình d : 3 ( x – 2 ) – 2 ( y + 1 ) = 0 hay 3 x – 2 y – 8 = 0

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆ : 3 ( x – 0 ) – 2 ( y + 4 ) = 0 hay 3 x – 2 y – 8 = 0⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0 .

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và đường thẳng
∆:
. Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y – 1 = 0
   B. x + y + 1= 0
   C. x + y – 3 = 0
   D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d ’ / / d nên đường thẳng d có dạng ( d ’ ) : x + y + c = 0 ( c ≠ – 2 )

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆ : 1 ( x + 2 ) + 1 ( y – 3 ) = 0 hay x + y – 1 = 0 .+ Lấy điểm M ( 1 ; 0 ) thuộc ∆ .Để khoảng cách hai đường thẳng d ’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi :d ( d ’ ; ∆ ) = d ( M ; d ’ ) = 2

⇔
= √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu là : x + y + 1 = 0 và x + y – 3 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng

d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1
   B. 3
   C. 0,5
   D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC :

⇒ Phương trình BC : 3 ( x – 1 ) + 1 ( y + 2 ) = 0 hay 3 x + y – 1 = 0 .

+ ta có; BC =
= √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC :

Ta có:
⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d ( A ; BC ) = d ( d ; BC ). ( 1 )

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O ( 0 ; 0 ) thuộc d .

⇒ d(d; BC) = d(O;BC) =
=
( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) =
.

+ Diện tích tam giác ABC là S =
d( A,BC).BC =
.
.√10 = 0, 5

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y – 4 = 0 và đường thẳng
∆:
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1
   B. 2
   C. √2
   D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình đường thẳng ∆ : 1 ( x – 1 ) + 1 ( y – 1 ) = 0 hay x + y – 2 = 0 .

+ Ta có:
nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A ( 1 ; 1 ) thuộc ∆. Do d / / ∆ nên :

d(d; ∆) = d(A; d) =
= √2

Câu 2: Cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d
một đoạn bằng √5 là

A. x – 2y – 3 = 0; x – 2y + 7 = 0
   B. x – 2y + 3 = 0 và x – 2y + 7 = 0

C. x – 2y – 3 = 0; x – 2y – 7 = 0
   D. x – 2y + 3 = 0; x – 2y – 7 = 0 .

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d : x – 2 y + 2 = 0⇒ Đường thẳng ∆ có dạng : x – 2 y + c = 0 ( c ≠ 2 ) .+ Lấy một điểm A ( – 2 ; 0 ) thuộc d .⇒ d ( d ; ∆ ) = d ( A ; ∆ ) = √ 5

⇔
= √5 ⇔ |c – 2| = 5 nên

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu là x – 2 y + 7 = 0 hoặc x – 2 y – 3 = 0 .

Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d1 và d2 cùng
song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y – 7 = 0; 3x – 4y + 3 = 0.
   B. 3x – 4y + 7 = 0; 3x – 4y – 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0.
   D. 3x + 4y – 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3 x + 4 y + c = 0 ( c ≠ 1 ) .Lấy điểm M ( – 3 ; 2 ) thuộc d

Do d(d ; ∆) = d( M ; ∆) =1 ⇔
= 1

⇔ |c – 1| = 5 ⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu là : 3 x + 4 y + 6 = 0 hoặc 3 x + 4 y – 4 = 0

Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y – 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là

A.
   B. 9.
   C.
   D. 15.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có :
nên a // b

Lây điểm M ( 0 ; 3 ) thuộc ( a ) .

Do a // b nên d(M ; b) = d( a ; b) =

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x – 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d
một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y – 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0
   B. 3x – 4y + 7 = 0 ; 3x – 4y – 3 = 0

C. 3x + 4y – 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0
   D. 3x – 4y + 6 = 0; 3x – 4y – 4 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3 x – 4 y + 2 = 0Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3 x – 4 y + C = 0 .Lấy điểm M ( – 2 ; – 1 ) thuộc d .

Do d(d; ∆) = 1 ⇔
= 1 ⇔ |C – 2| = 5 ⇔

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu là : 3 x – 4 y + 7 = 0 và 3 x – 4 y – 3 = 0 .

Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x – 6y + 20 = 0. Viết phương
trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x – 3y + 23 = 0
   B. 2x – 3y – 3 = 0.

C. 2x – 3y – 8 = 0 và 2x – 3y = 0
   D. Cả A và B đúng

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta có đường thẳng d ’ / / d nên đường thẳng d ’ có dạng : 2 x – 3 y + c = 0 ( c ≠ 6 )

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆:

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .Mà d / / d ’ nên d ’ / / ∆ .+ Lấy điểm A ( – 5 ; 0 ) thuộc ∆ .+ Do d ’ / / ∆ nên d ( d ’ ; ∆ ) = d ( A ; d ’ ) = √ 13

⇔
= √13 ⇔

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn nhu cầu là 2 x – 3 y + 23 = 0 và 2 x – 3 y – 3 = 0 .

Câu 7: Cho tam giác ABC có B( – 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng

d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1
   B. 3
   C. 0,5
   D. 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng BC :

⇒ Phương trình BC : 1 ( x + 2 ) + 4 ( y – 1 ) = 0 hay x + 4 y – 2 = 0 .

+ ta có; BC =
= √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC :

Ta có:
⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d ( A ; BC ) = d ( d ; BC ). ( 1 )+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC .Lấy điểm H ( 10 ; 0 ) thuộc d .

⇒ d(d; BC) = d(H;BC) =
=
( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) =

+ Diện tích tam giác ABC là S =
d( A,BC).BC =
.
.√17= 1

Chuyên đề Toán 10 : khá đầy đủ triết lý và các dạng bài tập có đáp án khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn