1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ có phương trình: ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_1} + {a_1}t}\\
{y = {y_1} + {b_1}t}\\
{z = {z_1} + {c_1}t}
\end{array}} \right.$ và ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_2} + {a_2}t’}\\
{y = {y_2} + {b_2}t’}\\
{z = {z_2} + {c_2}t’}
\end{array}} \right.$ $\left( {t;t’ \in R} \right).$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ theo một trong các cách sau:
Cách 1:

+ Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương ${\vec a_1}$ của ${d_1}$, ${\vec a_2}$ của ${d_2}.$
+ Bước 2: Xác định các điểm ${M_1} \in {d_1}$, ${M_2} \in {d_2}.$
+ Bước 3: Lúc đó $d\left( {{d_1};{d_2}} \right)$ $ = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right]} \right|}}.$
Cách 2:

+ Bước 1: Gọi $H \in {d_1}$, $K \in {d_2}$ (lúc này $H$, $K$ có toạ độ phụ thuộc ẩn $t$, $t’$).
+ Bước 2: Xác định $H$, $K$ dựa vào:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{HK \bot {d_1}}\\
{HK \bot {d_2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec a}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
+ Bước 3: Lúc đó: $d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = HK.$
Nhận xét: Trong nhiều bài toán yêu cầu viết phương trình đường vuông góc chung thì nên sử dụng cách 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = HK = \sqrt 3 .$
Cách 2: (Sử dụng công thức).
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;2) \in {\Delta _1}$, $B(1;0;1) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1; – 1).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 .$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\sqrt 3 .$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;2) \in {\Delta _1}$, $B(1;0;1) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1; – 1).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = \sqrt 3 .$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = 3.$
B. ${\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
C. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{3}{4}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Rightarrow $ mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow HK = \sqrt 3 .$
Mặt cầu cần tìm có tâm $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có phương trình: $(S):{\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\vec u(1;a;b)$ $(a;b \in R)$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$ Tính tổng $S = a + b.$
A. $S=2.$
B. $S=-2.$
C. $S=4.$
D. $S=-4.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Cách 1: (Tìm đoạn vuông góc chung).
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t}\\
{y = 1 + 2t}\\
{z = 2 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2k}\\
{y = – k}\\
{z = 1 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) \in {\Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1).$
Đường vuông góc chung có vectơ chỉ phương dạng $m\overrightarrow {HK} $ $(m \in R,m \ne 0)$, từ giả thiết suy ra $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$
Cách 2:
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Do $\vec u(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ suy ra:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec u.{{\vec u}_1} = 0}\\
{\vec u.{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 + 2a – b = 0}\\
{2 – a – b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1}\\
{b = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \vec u = (1;1;1).$
Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ \Rightarrow S = a + b = 2.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
C. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 1;1; – 1).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4;2;1).$
Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = t}\\
{z = 1 – t}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 4k}\\
{y = – 1 + 2k}\\
{z = – 1 + k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(1 – t;t;1 – t) \in {\Delta _1}$, $K(2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(1;0;1)$, $K(2; – 1; – 1)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1; – 1; – 2).$
Đường vuông góc chung cần tìm là đường thẳng qua $H(1;0;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = (1; – 1; – 2)$, có phương trình: $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. $d = \sqrt 6 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2)$ $ \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = HK = 3.$
Cách 2: (Sử dụng công thức).
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;1) \in {\Delta _1}$, $B(3;3;3) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (1;2;2).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = 3.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.$
B. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$
C. $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{2}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2).$
Đường vuông góc chung cần tìm là đường thẳng qua $H(2;1;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {HK} = (1;2;2)$, có phương trình: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{2}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $3.$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}.$
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Chọn $A(2;1;1) \in {\Delta _1}$, $B(3;3;3) \in {\Delta _2}$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (1;2;2).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = 3$ $ \Rightarrow M{N_{\min }} = 3.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$
A. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 2)^2} = \frac{9}{4}.$
B. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{4}.$
C. ${\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{2}.$
D. ${\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2} = \frac{9}{4}.$

Lời giải:
Kiểm tra được ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau. Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$, suy ra mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$
Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = ( – 2;1;0).$
Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = (4; – 1; – 1).$
Ta có ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 4k}\\
{y = 3 – k}\\
{z = 3 – k}
\end{array}} \right..$
Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) \in {\Delta _1}$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) \in {\Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_1} = 0}\\
{\overrightarrow {HK} .{{\vec u}_2} = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{k = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = (1;2;2)$ $ \Rightarrow HK = 3.$
Mặt cầu cần tìm có tâm $I\left( {\frac{5}{2};2;2} \right)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = \frac{{HK}}{2} = \frac{3}{2}$ có phương trình: $(S):{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 2)^2} = \frac{9}{4}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}$ và trục $Oy.$
A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = 3.$

Lời giải:
Kiểm tra được $\Delta $ và $Oy$ chéo nhau.
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_\Delta } = (2;1; – 1).$
Đường thẳng chứa trục $Oy$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = (0;1;0).$
Chọn $O(0;0;0) \in Oy$, $A(1;0; – 4) \in \Delta $ $ \Rightarrow \overrightarrow {OA} = (1;0; – 4).$
Lúc đó: $d = \frac{{\left| {\overrightarrow {OA} .\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
Chọn đáp án C.

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, \Delta_{2}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-1}
A. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
B. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.$
C. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}.$
D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{1}.$

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. $d = \sqrt 6 .$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2\sqrt 3 .$
D. $d = 3\sqrt 3 .$

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\sqrt 6 .$
C. ${4\sqrt 3 .}$
D. ${\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.}$

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$
A. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{4}.$
B. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$
C. ${\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = \frac{3}{2}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = \frac{3}{4}.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}$ và trục $Oy.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $2\sqrt 3 .$
B. $\frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
C. $4\sqrt 3 .$
D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{2}$ và trục $Oz.$
A. $d = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
B. $d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD.$
A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$
B. $d = \frac{{\sqrt {51} }}{{51}}.$
C. $d = \frac{{8\sqrt {51} }}{{51}}.$
D. $d = \frac{{2\sqrt {15} }}{{11}}.$

Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $CM$ và $AN.$
A. $d = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.$
B. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{6}.$
D. $d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{1}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $d = \sqrt 3 .$
B. $d = \frac{1}{3}.$
C. $d = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = \frac{2}{3}.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn