Công Thức Tính Số Thập Phân Của Hằng Số Pi

Byadnhacly

Th3 28, 2022

Ngày đăng : 16/07/2018, 23 : 15

Hằng số Pi, được ký hiệu trong toán học là 1, nó được xác định bởi chu vi đường tròn chia chođường kính của đường tròn đó. Thoạt nhìn con số Pi tính được từ đường tròn, ta tưởng nó cũng giốngnhư những con số bình thường khác nhưng khi khảo sát sâu vào số thập phân thì nó là con số kỳ bí đấyNgày nay người ta biết hằng số Pi là số vô tỷ và còn là một con số siêu việt vì nó không là nghiệm củabất kỳ một phương trình toán học đại số nào hoặc nó cũng không thể lấy từ phân số của các số nguyênhay tự nhiên tác tạo thành. Những con số thập phân của Pi đã được tính chính xác tới hàng tỷ con số.Nhưng điều kỳ diệu là sự phân bố của những con số thập phân đó không theo bất kỳ một dạng chuỗihay dãy số đặc biệt nào đã được biết trong toán học, và cho đến ngày nay người ta vẫn chưa thấy cókhoảng chuỗi các con số lặp lại của những số thập phân trong hàng tỷ con số đã tính được đó. Liệunhững con số thập phân tiếp theo của những dãy số đã biết đến một lúc nào đó có rơi vào một chu kỳtuần hoàn không? Vẫn còn bí ẩn Mục đích để tính tới hàng tỷ con số thập phân của Pi vẫn chưa đượcthẩm thấu rõ ràng, và ứng dụng của nó vào thực tiễn vẫn chưa có xu hướng. Nhưng dù sao các nhàtoán học vẫn đi tìm kiếm để hiểu cấu trúc bên trong của những số thập phân của Pi. Sự tìm hiểu về Pidẫn đến có những sự khám phá lý thú khác trong toán học. Đó là phát triển các mô hình toán học màngày nay gọi là tân toán học dùng trong nhiều ứng dụng khoa học khác và đồng thời cũng áp dụng đểtính hằng số Pi. Hằng số Pi hầu như có mặt khắp nơi trong cấu trúc thiên nhiên như các tinh tú trongvũ trụ, trong cầu vồng, đồng tử trong mắt, những chuỗi soắn kép trong DNA, các biểu thức chuỗi sốtrong toán học và vân vân. Cơng Thức Tính Số Thập Phân Của Hằng Số Pi ( = 3,14159265358979323846264338327950288419716…) Hằng số Pi, ký hiệu tốn học [1*], xác định chu vi đường tròn chia cho đường kính đường tròn Thoạt nhìn số Pi tính từ đường tròn, ta tưởng giống số bình thường khác khảo sát sâu vào số thập phân số kỳ bí đấy! Ngày người ta biết số Pi số vơ tỷ số siêu việt khơng nghiệm phương trình tốn học đại số khơng thể lấy từ phân số số nguyên hay tự nhiên tác tạo thành Những số thập phân Pi tính xác tới hàng tỷ số Nhưng điều kỳ diệu phân bố số thập phân khơng theo dạng chuỗi hay dãy số đặc biệt biết toán học, ngày người ta chưa thấy có khoảng chuỗi số lặp lại số thập phân hàng tỷ số tính Liệu số thập phân dãy số biết đến lúc có rơi vào chu kỳ tuần hồn khơng? Vẫn bí ẩn! Mục đích để tính tới hàng tỷ số thập phân Pi chưa thẩm thấu rõ ràng, ứng dụng vào thực tiễn chưa có xu hướng Nhưng dù nhà tốn học tìm kiếm để hiểu cấu trúc bên số thập phân Pi Sự tìm hiểu Pi dẫn đến có khám phá lý thú khác tốn học Đó phát triển mơ hình tốn học mà ngày gọi tân toán học dùng nhiều ứng dụng khoa học khác đồng thời áp dụng để tính số Pi Hằng số Pi có mặt khắp nơi cấu trúc thiên nhiên tinh tú vũ trụ, cầu vồng, đồng tử mắt, chuỗi soắn kép DNA, biểu thức chuỗi số tốn học vân vân Ngược dòng thời gian, số Pi nhà toán học người Babylonian biết đến vào kỷ 19 trước Công nguyên họ dùng giá trị Pi 3,125 Trong kinh thánh Thiên Chúa giáo có đoạn ghi giá trị Pi gần Nhà bác học đại tài cổ đại Archimedes, người Hy lạp, dùng đa giác nội tiếp đường tròn khoa hình học xác định giá trị xác số Pi rơi vào khoảng 223/71 22/7, hay trung bình cộng hai số gần 3,1419 – xác tới số thập phân Vào năm 263 trước Cơng ngun, nhà tốn học Liu Hui Trung quốc tính giá trị Pi 3,141014 – xác tới số thập phân Đầu kỷ thứ năm sau Cơng ngun, nhà tốn học Aryabhata người Ấn tính số Pi 3,1416, số xác so với Liu Hui tìm trước bảy kỷ trơi qua! Rồi kỷ thứ năm, nhà toán học Zu Chongzhi Trung quốc đưa giá trị Pi nằm khoảng 3,1415926 3,1415927, xác bất ngờ tới số! Sau đến kỷ 14, nhà tốn học khác tên Madhava người Ấn độ đưa tới 11 số thập phân xác, 3,14159265359 Sự tìm hiểu người Pi khơng dừng đó, vào năm 1646 nhà tốn học Leibniz người Đức đưa cơng thức tính Pi kỳ dị, là: (cơng thức Leibniz) Cũng có số tài liệu nói cơng thức Jame Gregory khám phá trước Nếu ta cho giá trị x = vào biểu thức trên, ta thu biểu thức chuỗi số: Điều ngạc nhiên người ta thấy Pi trường hợp có liên quan tới số nguyên 1, 3, 5, 7,…, mà trước nhà tốn học cho Pi tồn hình học Mặc dù biểu thức với giá trị hội tụ Pi chậm mở kỷ nguyên phương pháp tính Pi thú vị Phương pháp dùng ngày phải dùng kèm với công thức liên quan tới hàm ngược tan khác, ký hiệu, gọi cơng thức Machin, nói tới phần Với biểu thức chuỗi thu trên, ta cộng trừ khoảng chừng ngàn số ta tính xác giá trị Pi tới vài số thập phân thật khiêm tốn Vào đầu kỷ 17, John Machin người Anh, tìm đuợc công thức: Sau người ta gọi dạng Machin Kết hợp công thức Machin với công thức mà Leibniz tìm trước giá trị Pi Sharp tính xác tới 71 số thập phân Lý số 239 tương đối lớn chúng lũy thừa k với giá trị k tăng dần làm chuỗi số hội tụ Pi nhanh Sau cơng thức Machin dùng để tính xác tới 100 số thập phân Pi Đến năm 1873, Shanks cho 709 số thập phân tính tay, sau người ta biết có 527 số thập phân số xác Cũng dựa vào phương pháp này, Shanks biết Pi số vô tỷ Tiếp khơng bao lâu, nhà tốn học Lindeman người Đức chứng minh Pi số siêu việt vì- khơng phải nghiệm biểu thức hay phương trình đại số tốn học giải Linderman khơng thể khai bâc hai đường tròn phương pháp đại số! Sự tiếp diễn tính số thập phân Pi thực nhiều nhà toán học khác Đến năm 1949, lần người ta dùng máy tính tính giá trị Pi xác tới 2000 số Từ năm theo phát triển tốc độ sức mạnh máy điện toán, người ta lại đạt kỷ lục tính số thập phân Pi lên tới trăm nghìn số đến triệu tỷ số Trung tuần tháng 12 năm 2002, nhóm tin học giáo sư Kanada người Nhật làm trưởng nhóm, dùng nhiều máy tính đại nối xen kẽ tính tới 1,24 tỷ tỷ số thập phân Pi cách xác Cơng thức Machin mà giáo sư Kanada nhóm tin học dùng để tính là: Ta để ý số hàm ngược biểu thức 48, 128, 239 110445 lớn Khi áp dụng cơng thức Leibniz mức hội tụ chuỗi số Pi nhanh xác Có nhiều cơng thức dạng Machin khám phá Tất phương pháp tính Pi từ ba kỷ trước đến năm 2002 sử dụng dạng công thức Machin kết hợp với cơng thức Leibniz tìm Vào năm 1997, cơng thức khác có tên gọi BBP dùng để tính số thập phân Pi đuợc ba nhà toán học Canada tên David Bailey, Peter Borwein Simon Plouffe sử dụng dạng thuật toán algorithm riêng gọi PSLQ kết hợp với máy tính khám phá ra: (BBP) Chữ BBP phần viết tắt tên họ ba người vừa nói Thuật tốn PSLQ dùng để tìm liên hệ số nguyên nằm số thực phải thỏa mãn phương trình với số ngun không lúc Điểm cốt lõi cơng thức BBP tính số thập phân Pi dạng nhị phân hay hex (cơ sở 16) khơng cần phải cộng hay trừ số tính trước cho bước xê dịch k tiến từ tới số lớn hay vơ cực Hay nói nơm na ta khơng cần nhớ số đuợc tính trước cho giá trị k, đỡ phải lưu chúng nhớ suốt tiến trình tính tốn Điều có nghĩa ta khơng cần phải trang bị máy điện tốn cực mạnh khơng cần kết hợp với nhiều máy tính khác làm trước Sở dĩ cơng thức BBP có tính chất vừa nêu số 16 lũy thừa k cho số hạng biểu thức đồng nhỏ hội tụ nhanh giá trị k tiến từ lên số lớn Đây phương sách hay để tính giá trị số thập phân Pi (ở dạng sở 16 hay nhị phân) có từ trước đến Nhưng giới mà người đọc hiểu Pi hay số khác số thuộc số thực hay dạng thập phân (decimal) có số 10 dạng nhị nguyên, số mà có máy tính hiểu Thí dụ số Pi dạng sở 16 có giá trị 3.243F6A8885A308D313… (giá trị tương đương theo sở 10: A 10, B 11, C 12, D 13, E 14 F 15) Như qua công thức BBP, số Pi dạng hex tính tới hàng tỷ số để “chuyển kiểu” chuỗi số từ dạng sở 16 để thành dạng hệ thập phân (cơ sở 10) mà chưa biết hết toàn chuỗi Pi dạng hex trước đó? Người ta dễ dàng chuyển số từ dạng sở 16 sang dạng nhị phân chuyển hàng tỷ số từ dạng sở 16 hay nhị phân sang dạng sở 10 nan giải Cho đến công thức BBP cho Pi dạng sở 10 lùng kiếm chưa biết dạng có tồn hay khơng Ngay sau công thức BBP khám phá công bố Nguyệt san toán học, nhà toán học giới tìm thêm dạng cơng thức khác tương tự cơng thức BBP để tính số tốn học khác log2, log3, Pi bình phương, bậc hai ba nhân Pi vân vân Công thức đây, thuộc dạng BBP, dùng để tính Pi tìm thấy website http://www.seriesmathstudy.com/ đăng ngày 29 tháng năm 2006: Và Hai cơng thức có số lớn, 4096 lũy thừa k, chắn làm cho việc tìm số thập phân Pi nhanh nhiều giá trị k xê dịch đơn vị phía số lớn hay tiến đến số lớn phía vơ cực mà máy tính có chế thực Những năm gần người ta tìm thấy số cơng thức chuỗi liên quan tới Pi, nhà toán học Ramanujan [2*] khám phá năm 1910, sau: Công thức trên, có mẫu số chứa k giai thừa lũy thừa bốn lớn so với giai thừa tử số có số 396 lũy thừa 4k, làm cho chuỗi số hội tụ nhanh khủng khiếp Bill Gosper dùng cơng thức tính 17 triệu số thập phân Pi vào năm 1985 Cứ bước xê dịch k từ số nhỏ tới số lớn, Gosper tính tám số thập phân xác Pi Cũng vào thời điểm này, David Gregory Chudnovsky tìm cơng thức chuỗi có dạng Ramanujan miêu tả đây: Trong công thức chuỗi này, bước xê dịch k cho xác tới mười bốn số thập phân Pi David Gregory sử dụng công thức với lối kỹ thuật áp dụng cho số cực lớn tính bốn tỷ số thập phân Pi – lập kỷ lục năm 1996 Mặc dù số thập phân Pi biết hàng tỷ số, thực tế áp dụng người ta dùng khoảng năm chục số đủ xác cho việc tính tốn số lớn có liên quan tới Pi Thí dụ đo lường chu vi trương nở vũ trụ có bán kính 10 lũy thừa 25, người ta phải dùng gần bốn mươi số thập phân Pi đo xác với sai số nhỏ Khi nhìn vào dãy thập phân Pi, ta tưởng chừng số hỗn độn Nhưng tính tốn từ biểu thức đại số tốn học, hiển nhiên số lẻ khơng phải số ngẫu nhiên, mà số nằm chuỗi số có cấu trúc bí hiểm! Một số nhà tốn học lại “máy móc” muốn tìm kiếm dãy số có dạng số thứ tự “0123456789” liệu có tồn hàng tỷ số thập phân khơng? Thật vậy, năm 1997 lần họ tìm thấy dãy số liên tiếp từ tới nằm sau số lẻ thứ 17.387.594.880 Những số thập phân Pi có nằm quy luật trật tự khơng hay mớ chuỗi số hỗn độn? Câu hỏi đưa dường trêu chọc có chủ ý, thách đố để cổ vũ người tiếp tục lao vào tìm kiếm điều bí ẩn số lẻ số Pi mà ẩn hay nhiều cấu trúc thiên nhiên chờ khám phá Ngày 19 tháng 11 năm 2006 T.V Thượng Đế tạo số, phần lại người (Leopold Kronecker, 1823-1891) Đọc thêm cơng thức tính số thập phân ln2 [1*] Ký hiệu nhà toán Leonahard Euler, người Thụy Sĩ, dùng vào năm 1737 [2*] Srinivas Ramanujan (22/12/1887 – 26/04/1920), người Ấn Độ, kỳ tài tốn học khó thấy từ cổ chí kim, thời gian ngắn tự khám phá hồn tất gần 3900 định lý cơng thức liên quan tới lãnh vực lý thuyết số, chuỗi số hội tụ, vi phân bất định, số hàm đặc biệt tốn học Hầu hết cơng thức ông khám phá, người ta không thấy ông để lại “dấu tích” chứng minh sổ tay nhỏ ông để lại sau tuổi 32 Ngày nay, số giáo sư trường đại học vất vả “cập nhật” phần chứng minh công thức định lý ơng hầu hết chúng thuộc loại khó chứng minh! Ví dụ số cơng thức chuỗi hội tụ mô tả máy điện toán cực siêu trợ giúp dựa vào số thuật toán “chứng minh” kết Đây ngành tốn học thực nghiệm vừa hình thành khoảng chừng hai thập niên – hứa hẹn giúp nhà tốn học tìm kiếm cơng thức tương lai Một số người chuyên nghiên cứu công thức định lý Ramanujan tiên đoán giới phải đợi đến vài thập niên hay kỷ để “tiếp thu” phần tinh túy Tài Liệu Tham Khảo Essays and Surveys, Bruce C Berndt and Robert Rankin, AMS-LMS History of Mathematics, vol 22, 2001 History and Computation, Jonathan M Borwein, FRSC, Prepared for Australian Colloquia, 2003 Chú ý: Gần bắt gặp số website khác đăng viết (ví dụ tập tin timdientich.pdf) từ trang web www.seriesmathstudy.com, họ lấy tên tác giả “T.V” ra, sửa mầu cho đề mục để tên website vào viết Chúng tơi tơn trọng khơng nêu đích danh website vi phạm trắng trợn “All Right Reserved” Chúng thiết nghĩ nội dung viết cho bạn đọc biết nguồn gốc website bạn đọc qua Mọi ý kiến xây dựng xin liên lạc [email protected] Copyright 2005-2007 http://vietgraph.seriesmathstudy.com All rights reserved Contact us Ghi rõ nguồn “http://vietgraph.seriesmathstudy.com” bạn đăng lại thông tin từ website … mươi số thập phân Pi đo xác với sai số nhỏ Khi nhìn vào dãy thập phân Pi, ta tưởng chừng số hỗn độn Nhưng tính tốn từ biểu thức đại số toán học, hiển nhiên số lẻ khơng phải số ngẫu nhiên, mà số. .. đây: Trong công thức chuỗi này, bước xê dịch k cho xác tới mười bốn số thập phân Pi David Gregory sử dụng công thức với lối kỹ thuật áp dụng cho số cực lớn tính bốn tỷ số thập phân Pi – lập kỷ… hội tụ Pi nhanh Sau cơng thức Machin dùng để tính xác tới 100 số thập phân Pi Đến năm 1873, Shanks cho 709 số thập phân tính tay, sau người ta biết có 527 số thập phân số xác Cũng dựa vào phương