Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho đường thẳng d / / ( P ) ; để tính khoảng cách giữa d và ( P ) ta thực thi các bước :
+ Bước 1 : Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến ( P ) hoàn toàn có thể được xác lập dễ nhất .
+ Bước 2 : Kết luận : d ( d ; ( P ) ) = d ( A ; ( P ) ) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)

Hướng dẫn giải

Chọn C
Ta có : I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và (SAB).

Hướng dẫn giải

Chọn A
Vì DC / / AB nên DC / / ( SAB )
⇒ d ( DC ; ( SAB ) ) = d ( D ; ( SAB ) )
Kẻ DH ⊥ SA
Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ ( SAD )
⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA
⇒ DH ⊥ ( SAB )
Nên d ( CD ; ( SAB ) ) = DH .
Trong tam giác vuông SAD ta có :

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn D
Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên
MN / / AB
⇒ MN / / ( ABC )
Khi đó, ta có :

( vì M là trung điểm của OA ) .

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD ; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó ; IM / / AD / / BC
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông vắn nên SO ⊥ ( ABCD ) .

+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2 a

Chọn đáp án D

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và (SOE) là

Hiển thị lời giải

+ Vì hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .
mà ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA
⇒ SA ⊥ ( ABCD ) .
+ Do E là trung điểm của AD khi đó
Tam giác ABD có EO là đường trung bình
⇒ EO / / AB ⇒ AB / / ( SOE )
⇒ d ( AB, ( SOE ) ) = d ( A ; ( SOE ) ) = AH
với H là hình chiếu của A lên SE.

Quảng cáo

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA’ và (BB’D’) bằng:

Hiển thị lời giải

Chọn B
Ta có : AA ’ / / BB ’ mà BB ’ ⊂ ( BDD’B ’ )
⇒ AA ’ / / ( BDD’B ’ )
⇒ d ( AA ’ ; ( BD’B ’ ) ) = d ( A ; ( BDD’B ’ )
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ AO ⊥ ( BDD’B ’ ) ( đặc thù hình lập phương )

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa (SDA) và BC?

Hiển thị lời giải

+ Ta có : BC / / AD nên BC / / ( SAD )
⇒ d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( B ; SAD ) )
+ Ta chứng tỏ BA ⊥ ( SAD ) :
Do BA ⊥ AD ( vì ABCD là hình chữ nhật )
Và BA ⊥ SA ( vì SA ⊥ ( ABCD ) )
⇒ BA ⊥ ( SAD )

⇒ d(B; (SAD)) = BA

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có :
AB2 = AC2 – BC2 = 5 a2 – 2 a2 = 3 a2
⇒ AB = √ 3 a
⇒ d ( CB ; ( SAD ) ) = AB = √ 3 a
Đáp án D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a; BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và (SBK) là:

Hiển thị lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD ; I là trung điểm cạnh BC
+ Do SA = SB = SC = SD và OA = OB = OC = OD nên SO ⊥ ( ABCD )
+ Ta chứng tỏ BC ⊥ ( SOI )
– Tam giác SBC cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : BC ⊥ SI ( 1 ) .
– Lại có : BC ⊥ SO ( vì SO ⊥ ( ABCD ) ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : BC ⊥ ( SOI )
Mà OH ⊂ ( SOI ) nên BC ⊥ OH
⇒ OH ⊥ ( SBC )
Do EF / / BK nên EF / / ( SBK )
⇒ d ( EF ; ( SBK ) ) = d ( O ; ( SBK ) ) = OH

Chọn đáp án D .

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và (SMN) bằng bao nhiêu?

Hiển thị lời giải

+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN / / BC
⇒ BC / / ( SMN ) nên :
d ( BC ; ( SMN ) ) = d ( B ; ( SMN ) ) = d ( A ; ( SMN ) )
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM .
+ Ta chứng tỏ : MN ⊥ ( SAM ) :

Chọn đáp án A

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và (SBC) là:

Hiển thị lời giải

+ Do AD / / BC nên AD / / ( SBC )
⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( H ; ( SBC ) )
trong đó H là trung điểm AD .
+ Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HK .

+ Diện tích tam giác SMH là :

Chọn đáp án C

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường HK và (SBD) theo a

Hiển thị lời giải

+ Ta có : H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ HK / / BD ⇒ HK / / ( SBD )
⇒ d ( HK ; ( SBD ) ) = d ( H, ( SBD ) )
Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI

Chọn đáp án C

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và (SAB) theo a bằng:

Hiển thị lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ : OI ⊥ AB ; OH ⊥ SI

+ Do CD / / AB nên CD / / ( SAB )
⇒ d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = 2 d ( O ; ( SAB ) )
Ta có : AB ⊥ SO, AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ ( SOI ) ⇒ AB ⊥ OH
Nên OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH
Mà tam giác Ngân Hàng Á Châu cân tại B có ∠ ABC = 60 ° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = ( 50% ) AC = ( 50% ) AB = a / 2 .
+ xét tam giác OAB có :

Chọn đáp án B

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và (SCD) bằng

Hiển thị lời giải

+ Gọi I là trung điểm của CD. Ta có :

⇒ ( ( SCD ), ( ABCD ) ) = ( OI, SI ) = 60 °
+ Ta có : AB / / CD nên AB / / ( SCD )
⇒ d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2. d ( O, ( SCD ) )
+ Trong mp ( SOI ), gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SI

+ Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên

Do đó : d ( AB ; ( SCD ) ) = 2 d ( O ; ( SCD ) ) = 2. OH = 2.1 = 2
Chọn B

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn