Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở. Vì vậy, hôm nay nhacly.com xin giới thiệu đến bạn đọc bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tổng hợp các lý thuyết căn bản, đồng thời cũng đưa ra những dạng toán thường gặp và các ví dụ áp dụng một cách chi tiết, rõ ràng. Đây là chủ đề ưa chuộng, hay xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh. Cùng Kiến Guru khám phá nhé:

Phương trình bậc 2 một ẩn – Lý thuyết.

Bạn đang xem : Nghiệm kép là gì

Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm : Ta gọi Δ = b2-4ac. Khi đó :Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.Δ > 0 : phương trình sống sót 2 nghiệm : .

Δ = 0, phương trình có nghiệm kép x = – b / 2 aΔTrong trường hợp b = 2 b ’, để đơn thuần ta hoàn toàn có thể tính Δ ’ = b ’ 2 – ac, tựa như như trên :Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.Δ ’ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Δ ’ = 0 : phương trình có nghiệm kép x = – b ’ / aΔ ’

Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn nhu cầu :

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý Viet để tính những biểu thức đối xứng chứa x1 và x2x1+x2=-b/ax12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2…x1 + x2 = – b / ax12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2-2 x1x2 = ( b2-2ac ) / a2 …Nhận xét : Đối với dạng này, ta cần đổi khác biểu thức làm thế nào cho Open ( x1 + x2 ) và x1x2 để vận dụng hệ thức Viet .

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0),Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=1 và x2=c/aNếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=-c/aPhân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 : cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ), Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c / aNếu a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = – 1 và x2 = – c / aPhân tích đa thức thành nhân tử : cho đa thức P ( x ) = ax2 + bx + c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P ( x ) = 0 thì đa thức P ( x ) = a ( x-x1 ) ( x-x2 ) Xác định dấu của những nghiệm : cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có :

II. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

Nếu S2 trái dấu. Nếu S > 0, x1 và x2 cùng dấu : P > 0, hai nghiệm cùng dương. PĐể giải những phương trình bậc 2, cách thông dụng nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ ’, rồi vận dụng những điều kiện kèm theo và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I .Ví dụ 1 : Giải những phương trình sau :x2-3x+2=0x2+x-6=0x2-3x+2 = 0x2 + x-6 = 0Hướng dẫn :Δ=(-3)2-4.2=1. VậyΔ = ( – 3 ) 2-4. 2 = 1. Vậy

Ngoài ra, ta hoàn toàn có thể vận dụng cách tính nhanh : chú ý

suy ra

phương trình có nghiệm là x1 = 1 và x2 = 2/1 = 2Δ=12-4.(-6)=25. VậyΔ = 12-4. ( – 6 ) = 25. Vậy

Tuy nhiên, ngoài những phương trình bậc 2 rất đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt quan trọng sau :Phương trình khuyết hạng tử.Phương trình khuyết hạng tử .Khuyết hạng tử bậc nhất : ax2 + c = 0 ( 1 ) .Xem thêm : 11 Bài Hát Giáng Sinh ( Noel ) Nước Ta Ý Nghĩa Được Yêu Thích Nhất Mọi Thời Đại

Phương pháp:

Nếu – c / a > 0, nghiệm là :

Nếu – c / a = 0, nghiệm x = 0N ếu – c / aKhuyết hạng tử tự do : ax2 + bx = 0 ( 2 ). Phương pháp :Ví dụ 2 : Giải phương trình :x2-4=0x2-3x=0

x2-4=0x2-3x=0

Hướng dẫn :x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2×2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3×2-4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2×2 – 3 x = 0 ⇔ x ( x-3 ) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3Phương trình đưa về dạng bậc 2.Phương trình đưa về dạng bậc 2 .

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

Đặt t=x2 (t≥0).Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ). Phương trình đã cho về dạng : at2 + bt + c = 0G iải như phương trình bậc 2 thông thường, chú ý quan tâm điều kiện kèm theo t ≥ 0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).Quy đồng khử mẫu.Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.Tìm điều kiện kèm theo xác lập của phương trình ( điều kiện kèm theo để mẫu số khác 0 ). Quy đồng khử mẫu. Giải phương trình vừa nhận được, chú ý quan tâm so sánh với điều kiện kèm theo khởi đầu .Chú ý : chiêu thức đặt t = x2 ( t ≥ 0 ) được gọi là chiêu thức đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, so với một số ít bài toán, cần khôn khéo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm mục đích đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, hoàn toàn có thể đặt t = x + 1, t = x2 + x, t = x2-1 …Ví dụ 3 : Giải những phương trình sau :4×4-3×2-1=0

4×4 – 3×2 – 1 = 0Hướng dẫn :Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ), lúc này phương trình trở thành :4 t2 – 3 t – 1 = 0, suy ra t = 1 hoặc t = – ¼t=1 ⇔ x2=1 ⇔ x=1 hoặc x=-1.t=-¼, loại do điều kiện t≥0t = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1. t = – ¼, loại do điều kiện kèm theo t ≥ 0Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = – 1 .Ta có:Ta có :

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 .Phương pháp : Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm .Ví dụ 4 : Giải và biện luận theo tham số m : mx2-5x-m-5 = 0 ( * )Hướng dẫn :Xét m = 0, khi đó ( * ) ⇔ – 5 x – 5 = 0 ⇔ x = – 1Xét m ≠ 0, khi đó ( * ) là phương trình bậc 2 theo ẩn x .

Vì Δ ≥ 0 nên phương trình luôn có nghiệm : Δ = 0 ⇔ m = – 5/2, phương trình có nghiệm duy nhất. Δ > 0 ⇔ m ≠ – 5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

Xác định điều kiện kèm theo tham số để nghiệm thỏa nhu yếu đề bài .Phương pháp : để nghiệm thỏa nhu yếu đề bài, thứ nhất phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta triển khai theo những bước sau :Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.Tính Δ, tìm điều kiện kèm theo để Δ không âm. Dựa vào định lý Viet, ta có được những hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo nhu yếu đề .

Ví dụ 5 : Cho phương trình x2 + mx + m + 3 = 0 ( * ). Tìm m để phương trình ( * ) có 2 nghiệm thỏa mãn nhu cầu

:

Hướng dẫn :Để phương trình ( * ) có nghiệm thì :

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet :

Mặt khác :

Theo đề :

Thử lại :Khi m=5, Δ=-7 Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

Khi m=5, Δ=-7 Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = – 3 thỏa nhu yếu đề bài .

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về phương trình bậc 2 một ẩn. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc tự củng cố kiến thức cho bản thân, các bạn cũng sẽ rèn luyện thêm được tư duy giải quyết các bài toán về phương trình bậc 2. Các bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để khám phá thêm nhiều kiến thức mới. Chúc các bạn sức khỏe và học tập tốt!

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn