Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình

Cách giải:

– Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì

ax3 + bx2 + cx + d = ( x – x 0 ). f ( x )
– Để tìm f ( x ) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho ( x – x 0 ) .
– Giả sử f ( x ) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích ( x – x 0 ). ( ax2 + Bx + C ) = 0

Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau

Khi đó : ax3 + bx2 + cx + d = ( x – x 0 ). ( ax2 + Bx + C )

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình  x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình

Giải

Phương trình ( 1 ) ⇔ x3 + x2-12 = 0
Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức ( x3 + x2 – 12 ) chia cho
( x – 2 ). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia :

Vậy x3 + x2 – 12 = ( x – 2 ). ( x2 + 3 x + 6 )

Xét phương trình : x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Xét phương trình : x2 + 3 x + 6 = 0 có ∆ = 32 – 4.1.6 = – 15 < 0 nên phương trình vô nghiệm Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:  (x – 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình ( * ) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình ( 1 ) có đúng 2 nghiệm thì phương trình ( * * ) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
+ TH1 : phương trình ( * * ) có nghiệm kép khác 2 ⇔ phương trình ( * * ) có
∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của ( * * )

+ TH2 : phương trình ( * * ) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
Thay x = 2 vào phương trình ( * * ) ta được :

Với m = – 1 thì phương trình ( * * ) trở thành : x2-x-2 = 0
Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = – 1, x = 2
Suy ra m = – 1 thỏa mãn nhu cầu
Vậy m = – 1, m = 2, m = – 2 là những giá trị cần tìm

B. Bài tập

Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình

Giải

Vì x = – 3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức ( 2×3 + x2 – 13 x + 6 ) chia cho ( x + 3 ). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia

Vậy 2×3 + x2 – 13 x + 6 = ( x + 3 ). ( 2×2 – 5 x + 2 )

Xét phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = – 3
Xét phương trình 2×2 – 5 x + 2 = 0 có ∆ = ( – 5 ) 2 – 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : x = 2, x = 1/2

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình  (x – 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình ( * ) có 1 nghiệm x = 1 nên để phương trình ( 1 ) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình ( * * ) phải có 2 nghiệm phân biệt khác x = 1

Vậy với  thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 3: Tìm m để phương trình  (2x – 1)(x2 – mx + 3m – 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm

A. 1 < m < 8

B. 2 < m < 10

C. m = 4

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình (*) có 1 nghiệm
 nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép  hoặc vô nghiệm

+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép

Thay
 vào phương trình (**) ta được:

+ TH2 : phương trình ( * * ) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm

Đáp án là B

Câu 4: Tìm m để phương trình  (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3

A. m = 1

B. m = 6

C. Không tồn tại m

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình ( * ) có 1 nghiệm x1 = – 1 nên để phương trình ( 1 ) có 3 nghiệm thì phương trình ( * * ) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = – 1

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình ( * * ) nên x2 + x3 = – 2 m
Tổng những nghiệm của phương trình ( 1 ) là : x1 + x2 + x3 = – 1 – 2 m = 3 ⇔ m = – 2

m = -2 không thỏa mãn điều kiện  nên loại

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn nhu cầu đề bài

Đáp án là C

Câu 5: Tìm m để phương trình  (x + 2)(x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4

A. m = 1

B. m = 1, m = 2

C. m = 2

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình ( * ) có 1 nghiệm x1 = – 2 nên để phương trình ( 1 ) có 3 nghiệm thì phương trình ( * * ) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = – 2

Điều này xảy ra

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình ( * * ) nên x2. x3 = mét vuông – 3 m
Tích những nghiệm của phương trình ( 1 ) là :

Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình ( 1 ) có nghiệm thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đặt ra

Đáp án đúng là B

Câu 6: Biết rằng phương trình x3 – 4×2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình

( x – 3 ) ( x2 + Bx + C ) = 0. Hãy tính B + C

A. -5

B. -4

C. -6

D. -3

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 4×2 + x + 6 cho x – 3

Vậy x3 – 4×2 + x + 6 = ( x – 3 ). ( x2 – x – 2 )
Suy ra phương trình x3 – 4×2 + x + 6 = 0 ⇔ ( x – 3 ). ( x2 – x – 2 ) = 0
Vậy B = – 1 và C = – 2 ⇒ B + C = – 1 – 2 = – 3

Đáp án D

Câu 7: Biết rằng phương trình x3 – 5×2 – 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x – 4)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu có

A. -6

B. -7

C. -8

D. -9

Giải

Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 5×2 – 2 x + 24 cho x – 4

Vậy x3 – 5×2 – 2 x + 24 = ( x – 4 ). ( x2 – x – 6 )
Suy ra phương trình x2 + Bx + C = 0 là phương trình x2 – x – 6 = 0
Phương trình này có Δ = ( – 1 ) 2 – 4. ( – 6 ) = 25 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et tích các nghiệm của phương trình là

Đáp án A

Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 9 tinh lọc, có đáp án hay khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn