Cách giải phương trình bậc hai cực hay và cách nhẩm nghiệm nhanh gọn

Lý thuyết về phương trình bậc hai cũng như cách giải phương trình bậc hai học viên đã được khám phá trong chương trình Toán 9, phân môn Đại số. Nhằm giúp những bạn học viên nắm vững hơn những kỹ năng và kiến thức cần ghi nhớ về chyên đề Toán 9 khá quan trọng này, THPT Sóc Trăng đã chía sẻ bài viết sau đây. Bạn khám phá nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Phương trình bậc hai là gì?

Bạn đang xem : Cách giải phương trình bậc hai cực hay và cách nhẩm nghiệm nhanh gọn

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng : ax2 + bx + c = 0. Với

• x là ẩn số
• a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
• a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).

2. Ví dụ

Sau đây là 1 số ví dụ .
a ) 2 x² + 5 x + 3 = 0
Trong phương trình này : thông số a = 2, b = 5, c = 3. Đây là phương trình bậc hai một ẩn .
b ) x² – 3 x = 0

Phương trình hơi khác chút:
+ Hệ số đâu nhỉ? a = 1 và ta không cần viết “1.x²“
+ Hệ số b = − 3
+ Và c bằng mấy? c = 0 nên không cần viết.

Phương trình trên là phương trình bậc hai một ẩn .
c ) − x² = 0
Các thông số a = − 1, b = c = 0. Đây là phương trình bậc hai một ẩn .

II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỰC HAY

Cách 1: Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử

Ví dụ :
x² − 3 x − 4 = 0
⇔ x² + x − 4 x − 4 = 0
⇔ x ( x + 1 ) − 4 ( x − 4 ) = 0
⇔ ( x + 1 ) ( x − 4 ) = 0
⇔ x = − 1 hoặc x = 4 .

Cách 2: Tạo ra bình phương bằng cách thêm bớt

Ví dụ : x² + 4 x − 5 = 0
⇔ x² + 2.2. x + 2 ² − 9 = 0 ( vì 5 = 4 − 9 )
⇔ ( x + 2 ) ² = 9
⇔ x + 2 = − 3 hoặc x + 2 = 3
⇔ x = − 5 hoặc x = 1 .
Những cách trên không phải vận dụng được cho tổng thể những phương trình .
VẬY, có cách nào giúp ta giải phương trình bậc hai bất kỳ hay không ?
Câu vấn đáp là CÓ cách sau đây :

Cách 3: Áp dụng công thức nghiệm.

Ta có công thức nghiệm tổng quát để giải phương trình bậc hai bất kỳ. Chi tiết như sau .

CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

Bước 1: Tính  Δ = b² − 4ac.

Bước 2: Xét dấu của Δ.

• Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)

• Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Thay những thông số a, b, c vào công thức rồi tính là xong .

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai sau:

3 x² + 5 x − 1 = 0
Ta có : a = 3, b = 5, c = − 1 .
Δ ’ = b² − ac = 5 ² − 4.3. ( − 1 ) = 25 + 12 = 37 > 0 .
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

Chú ý:

Nếu a và c trái dấu ( a. c < 0 ) thì Δ = b² − 4 ac > 0 .
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Nếu trong trường hợp b là số chẵn thì ta hoàn toàn có thể đặt b = 2 b ’ và vận dụng công thức sau để giải phương trình bậc hai .

Công thức nghiệm RÚT GỌN

Bước 1: Tính  Δ’ = b’² − ac.

Bước 2: Xét dấu của Δ’.

• Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau).

• Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau:

5x² + 4x − 1 = 0

Giải: Ta có: a = 5, b’ = 2, c = − 1. 

Δ ’ = b ’ ² − ac = 2 ² − 5. ( − 1 ) = 9 > 0 .
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

Cách 4: Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng máy tính

Cách bấm máy tính bỏ túi CASIO FX570 để giải được phương trình bậc hai như sau :
Bước 1 : Chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn [ “ MODE ” “ 5 ” “ 1 ” ]. Chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn như hiển thị trên màn hình hiển thị
Bước 2 : Khai báo những thông số của phương trình, những thông số cách nhau bằng dấu “ = ”
Bước 3 : Bấm tiếp “ = ” để xem tác dụng. Có 4 trường hợp :

• Phương trình 1 nghiệm (x)
• Phương trình 2 nghiệm (x và y)
• Phương trình vô nghiệm (No-Solution)
• Phương trình vô số nghiệm (infinite Solution).

III. CÁCH TÍNH NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Xuất phát từ định lý Vi-ét, tất cả chúng ta có những dạng toán tính nhẩm như sau :

Dạng 1 : A = 1, B = Tổng, C = Tích

Nếu phương trình có dạng x2 – ( u + v ) x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v .
Nếu phương trình có dạng x2 + ( u + v ) x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm – u và – v .

Tóm lại:

• x2 – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)
• x2 + (u+v)x + uv = 0 => x1 = -u, x2 = -v

Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.

Ví dụ phương trình :

x2 – 5x + 6 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.

x2 – 7x + 10 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.

Dạng 2 : A + B + C = 0 và A – B + C = 0

x2 – ( u + v ) x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v ( 1 )

• Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.
• Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.

Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét những ví dụ cho trường hợp này mà tập trung chuyên sâu vào Dạng 1 và Dạng 3 .

Dạng 3 : Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu u ≠ 0 và v = 1 / u thì phương trình ( 1 ) có dạng :

Khi đó : Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x = u, x = 1 / u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình :

• 2×2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/2
• 3×2 – 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3

IV. BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1:

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải những phương trình sau :

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình bậc hai 2x²  – 7x + 3 = 0

Có : a = 2 ; b = – 7 ; c = 3 ; Δ = b² – 4 ac = ( – 7 ) ² – 4.2.3 = 25 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

Vậy phương trình có hai nghiệm là 3 và 

1/2.
50% .

b) Phương trình bậc hai 6x²  + x + 5 = 0

Có a = 6 ; b = 1 ; c = 5 ; Δ = b² – 4 ac = 1 ² – 4.5.6 = – 119 < 0 Vậy phương trình vô nghiệm .

c) Phương trình bậc hai 6x²  + x – 5 = 0

Có a = 6 ; b = 1 ; c = – 5 ; Δ = b² – 4 ac = 1 ² – 4.6. ( – 5 ) = 121 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

Vậy phương trình có hai nghiệm là – 1 và 5/6 .

d) Phương trình bậc hai 3x²  + 5x + 2 = 0

Có a = 3 ; b = 5 ; c = 2 ; Δ = b² – 4 ac = 5 ² – 4.3.2 = 1 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

Vậy phương trình có hai nghiệm là – 1 và – 2/3 .

e) Phương trình bậc hai y² – 8y + 16 = 0

Có a = 1 ; b = – 8 ; c = 16 ; Δ = b² – 4 ac = ( – 8 ) ² – 4.1.16 = 0 .
Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép :

Vậy phương trình có nghiệm kép y = 4 .

f) Phương trình bậc hai 16z²  + 24z + 9 = 0

Có a = 16 ; b = 24 ; c = 9 ; Δ = b² – 4 ac = 24 ² – 4.16.9 = 0
Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép :

Vậy phương trình có nghiệm kép – 3/4 .

Bài 2:

Không giải phương trình, hãy xác lập những thông số a, b, c, tính biệt thức Δ và xác lập số nghiệm của mỗi phương trình sau :

Hướng dẫn giải:

a) 7x²  – 2x + 3 = 0

Có: a = 7; b = – 2; c = 3; Δ = b² – 4ac = (–2)²– 4.7.3 = – 80 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm .

b) 5x² + 2√10x + 2 = 0

Có : a = 5 ; b = 2 √ 10 ; c = 2 ; Δ = b² – 4 ac = ( 2 √ 10 ) ² – 4.2.5 = 0
Vậy phương trình có nghiệm kép .
c ) Phương trình bậc hai


Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt .

d) Phương trình bậc hai 1,7x² – 1,2x – 2,1 = 0

Có : a = 1,7 ; b = – 1,2 ; c = – 2,1 ; Δ = b² – 4 ac = ( – 1,2 ) ² – 4.1,7. ( – 2,1 ) = 15,72 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Bài 3: Giải phương trình 4×2 – 2x – 6 = 0 (2)

Δ = ( – 2 ) 2 – 4.4. ( – 6 ) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình ( 2 ) đã cho có 2 nghiệm phân biệt .

 và 
và

Bài 4: Giải phương trình 2×2 – 7x + 3 = 0 (3)

Tính Δ = ( – 7 ) 2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0 => ( 3 ) có 2 nghiệm phân biệt :

 và 
vàĐể kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra hiệu quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.32 – 7.3 + 3 = 0 .

Bài 5: Giải phương trình 3×2 + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 22 – 4.3.5 = – 56 < 0 => phương trình ( 4 ) vô nghiệm .

Bài 6: Giải phương trình x2 – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = ( – 4 ) 2 – 4.4.1 = 0 => phương trình ( 5 ) có nghiệm kép :

Trên đây THPT Sóc Trăng đã giới thiệu đến quý bạn đọc lý thuyết về phương trình bậc hai cùng cách giải phương trình bậc hai cực hay và cực nhanh. Hi vọng, những thoog tin này hữu ích với bạn. Xem thêm cách giải phương trình bậc ba tại đường link này bạn nhé !

Đăng bởi : trung học phổ thông Sóc Trăng
Chuyên mục : Giáo dục đào tạo

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn