Phương trình bậc nhất có nghiệm âm khi nào

ByKim Phượng

Th7 23, 2021

Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểucách giải phương trình bậc 2 một ẩn, cách tính nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức Vi-et, đồng thời giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩnđể thông qua bài tập các em sẽ nắm vững nội dung lý thuyết.

I.Tóm tắt lý thuyết về Phương trình bậc 2 một ẩn

1. Phương trình bậc nhất ax + b = 0

-Nếu a 0, phương trình có nghiệm duy nhất x=(-b/a)

Bạn đang đọc: Phương trình bậc nhất có nghiệm âm khi nào

– Nếu a = 0, b 0, phương trình vô nghiệm
– Nếu a = 0, b = 0, phương trình có vô sốnghiệm

2. Phương trình bậc 2: ax2+ bx + c = 0 (a 0)

a)Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

Tính $small riangle =b^{2}-4ac$

+)Δ > 0: PT có 2 nghiệm: $small x_{1}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}$ ; $small x_{2}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}$

+)Δ = 0: PT có nghiệm kép: $small x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2a}$

+ ) Δ < 0 : PT vô nghiệm .

Tính $small { riangle }'={b}'^{2}-ac,(b=2b')$

+)Δ’ > 0: PT có 2 nghiệm: $small dpi{100} fn_cm small x_{1}=frac{-b'-sqrt{Delta '}}{a}$ ; $small dpi{100} fn_cm small x_{2}=frac{-b'+sqrt{Delta' }}{a}$

+)Δ’ = 0: PT có nghiệm kép: $small dpi{100} fn_cm small x_{1}=x_{2}=frac{-b'}{a}$

+ ) Δ ‘ < 0 : PT vô nghiệm .

b)Định lý Vi-et:

– Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c = 0 ( a0 ) :

$small S=x_{1}+x_{2}=-frac{b}{a}$ ; $small P=x_{1}x_{2}=frac{c}{a}$

– Ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý Vi-et để tính những biểu thức của x1, x2 theo a, b, c :

$small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=left ( x_{1}+x_{2} ight )^{2}-2x_{1}x_{2}=frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}$

$small S=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}$ $small -3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=frac{3abc-b^{3}}{a^{3}}$

$small left | x_{1}-x_{2} ight |=sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=sqrt{frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}}$

c)Định lý Vi-et đảo:

– Nếu x1 + x2 = S và x1. x2 = P thì x1, x2là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0 ( Điều kiện S2 – 4P 0 )

d)Ứng dụng của định lý Vi-et

* Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

– Nếu a + b + c = 0 thì : x1 = 1 và x2 = ( c / a ) ;
– Nếu a – b + c = 0 thì : x1 = – 1 và x2 = ( – c / a ) ;

* Tìm 2 số khi biết tổng và tích

– Cho 2 số x, y, biếtx + y = S và x. y = P thì x, ylà nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0

* Phân tích thành nhân tử

– Nếu phương trình : ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm x1, x2thìax2 + bx + c = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0

* Xác định dấu của các nghiệm số

– Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ), giả sử PT có 2 nghiệm x1, x2thìS = x1 + x2 = ( – b / a ) ; P = x1x2 = ( c / a )
– Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu – Nếu P > 0 vàΔ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu, khi đó nếu S > 0 thì phương trình có 2 nghiệm dương, S < 0 thì phương trình có 2 nghiệm âm .

II. Một số dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn

* Phương pháp:

+ Trường hợp 1: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử bậc nhất:

– Chuyển hạng tử tự do sang vế phải
– Chia cả 2 vế cho thông số bậc 2, đưa về dạng x2 = a .
+ Nếu a > 0, phương trình có nghiệm x = ± a
+ Nếu a = 0, phương trình có nghiệm x = 0
+ Nếu a < 0, phương trìnhvô nghiệm

+ Trường hợp 2: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử dự do:

– Phân tích vế trái thành nhân tử bằng giải pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải .

+ Trường hợp 3: Phương trình bậc 2 đầy đủ:

– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu sát hoạch gọn để giải
– Sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm so với 1 số phương trình đặc biệt quan trọng .

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a ) 2×2 – 4 = 0 b ) x2 + 4 x = 0
c ) x2 – 5 x + 4 = 0

* Lời giải:

a ) 2×2 – 4 = 0 2×2 = 4 x2 = 2 x = ± 2 .
Kết luận : Phương trình có nghiệm x = ± 2 .
b ) x2 + 4 x = 0 x ( x + 4 ) = 0
x = 0 hoặc x + 4 = 0
x = 0 hoặc x = – 4
Kết luận : Phương trình có nghiệm x = 0 và x = – 4 .
c ) x2 – 5 x + 4 = 0

* Cách giải 1: sử dụng công thức nghiệm

$small dpi{100} g_white fn_cm Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4.1.4=25-16=9$

small Delta =9 0;sqrt{Delta }=3

PT có 2 nghiệm phân biệt: $small x_{1}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=frac{5-3}{2}=1$ ; $small dpi{100} g_white fn_cm small x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}=frac{5+3}{2}=4$

Kết luận : Phương trình có nghiệm x = 1 và x = 4 .

* Cách giải 2: nhẩm nghiệm

– PT đã cho : x2 – 5 x + 4 = 0 có những thông số a = 1 ; b = – 5 ; c = 4 và ta thấy : a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0 nên theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x1 = 1 ; x2 = c / a = 4/1 = 4
Kết luận : Phương trình có nghiệm x = 1 và x = 4 .

* Một số lưu ý khi giải phương trình bậc 2:

Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải thông thường, không cần giải theo công thức, ví dụ : x2 – 2 x + 1 = 0 ( x-1 ) 2 = 0 x = 1 .
Phải sắp xếp lại đúng thứ tự những hạng tử để lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới vận dụng công thức, ví dụ : x ( x – 5 ) = 6 x2 – 5 x = 6 x2 – 5 x – 6 = 0 vận dụng công thức giải tiếp, …

Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,… tùy vào cách ta chọn
biến, ví dụ: a2 – 3a + 2 = 0; t2 – 6t + 5 = 0.

Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a0)

* Phương pháp:

– Đặt t = x2 ( t0 ), đưa PT về dạng : at2 + bt + c = 0
– Giải PT bậc 2 theo t, kiểm tra nghiệm t có thoả điều kiện kèm theo hay không, nếu có, trở lại phương trình x2 = t để tìm nghiệm x .

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

* Phương pháp:

– Tìm điều kiện kèm theo xác lập của phương trình
– Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu
– Giải phương trình vừa nhận được
– Kiểm tra điều kiện kèm theo những giá trị tìm được, loại những giá trị không thoả mãn điều kiện kèm theo, những giá trị thoả điều kiện kèm theo xác lập là nghiệm của phương trình đã cho .

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a ) x4 – 3×2 + 2 = 0

b) $small frac{x+2}{x-3}-9=frac{6}{2-x}$

* Lời giải:

a ) x4 – 3×2 + 2 = 0 ( * )
– Đặt t = x2 ( t 0 ) ta có ( * ) t2 – 3 t + 2 = 0
– Ta thấy a + b + c = 0 t = 1 hoặc t = 2 ( đều thoả ĐK t 0 )
– Với t = 1 : x2 = 1 x = ± 1
– Với t = 2 : x2 = 2 x = ± 2
Kết luận : Phương tình có nghiệm ( – 2 ; – 1 ; 1 ; 2 )

b) $small frac{x+2}{x-3}-9=frac{6}{2-x}$ (*)

ĐK : x 3 ; x 2
– Quy đồng khử mẫu, PT ( * ) ta được :
( x + 2 ) ( 2 – x ) – 9 ( x-3 ) ( 2 – x ) = 6 ( x-3 )
4 – x2 – 9 ( – x2 + 5 x – 6 ) = 6 x – 18
4 – x2 + 9×2 – 45 x + 54 – 6 x + 18 = 0
8×2 – 51 x + 76 = 0

$small dpi{100} g_white fn_cm small Delta =(-51)^{2}-4.8.76=2601-2432=169 0$ , small sqrt{Delta }=13

$small dpi{100} g_white fn_cm small x_{1}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=frac{51-13}{2.8}=frac{38}{16}=frac{19}{8}$ ;

$small dpi{100} g_white fn_cm small small x_{2}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}=frac{51+13}{2.8}=frac{64}{16}=4$

– Cả 2 nghiệm trên đều thoả ĐK x 3 ; x 2 ;
PT có nghiệm : x1 = 19/8 và x2 = 4 ;

Dạng 3:Giải biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 có tham số

* Phương pháp:

– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu sát hoạch gọn để giải ,

– Tính $Delta =b^{2}-4ac$ theo tham số:

+ NếuΔ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
+ NếuΔ = 0 : phương trình có nghiệm kép
+ NếuΔ < 0 : phương trình vô nghiệm

Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx2 – 5x – m – 5 = 0 (*)

* Lời giải:

– Trường hợp m = 0 thì ( * ) trở thành : – 5 x – 5 = 0 x = – 1
– Trường hợp m 0, ta có :

$small Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4(m)(-m-5)$

= 25 + 4 m ( m + 5 ) = 25 + 4 mét vuông + 20 m = ( 2 m + 5 ) 2
– Ta thấy : Δ = ( 2 m + 5 ) 2 0, m nên PT ( * ) sẽ luôn có nghiệm

+ NếuΔ = 0 m =-5/2 thì PT (*) có nghiệp duy nhất: $small x=frac{-b}{2a}=frac{5}{-5}=-1$

Xem thêm: 100 cap về bầu trời, stt về bầu trời hay nhẹ nhàng và ý nghĩa

+ NếuΔ = 0 m < – 5/2 hoặc m > – 5/2 thì PT ( * ) có 2 nghiệm phân biệt :

$small x_{1,2}=frac{-b mp sqrt{Delta }}{2a}=frac{5mp left | 2m+5 ight |}{2m}$

Dạng 4: Xác định tham số m để phương trình bậc 2 thoả mãn điều kiện nghiệm số

* Phương pháp

– Giải phương trình bậc 2, tìm x1 ; x2 ( nếu có )
– Với điều kiện kèm theo về nghiệm số của đề bài giải tìm m
– Bảng xét dấu nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn :

bảng xét dấu phương trình bậc 2 một ẩn

* Lưu ý:Nếu bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xétΔ > 0 ; còn nếu đề bài chỉ nói chung chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xétΔ 0.

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0)có:

1. Có nghiệm ( có hai nghiệm ) Δ 0
2. Vô nghiệm Δ < 0 3. Nghiệm duy nhất ( nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau ) Δ = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt ( khác nhau ) Δ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu Δ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu Δ > 0 và P < 0 a. c < 0 7. Hai nghiệm dương ( lớn hơn 0 ) Δ 0 ; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm ( nhỏ hơn 0 ) Δ 0 ; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhauΔ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau Δ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a. c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn a. c < 0 và S > 0

Ví dụ: Cho phương trình bậc 2 ẩn x tham số m: x2 + mx + m + 3 = 0 (*)

a ) Giải phương trình với m = – 2 .
b ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả x12 + x22 = 9
c ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2thoả 2×1 + 3×2 = 5

* Lời giải:

a ) với m = – 2 thì ( * ) x2 – 2 x + 1 = 0
– Ta thấy, a + b + c = 0 nên theo Vi-et PT có nghiệm : x1 = 1 ; x2 = c / a = 1 ;
– Hoặc : x2 – 2 x + 1 = 0 ( x-1 ) 2 = 0 nên có nghiệp kép : x = 1
b ) Để PT : x2 + mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm thì :

$small dpi{100} g_white fn_cm small Delta =m^{2}-4(m+3)geq 0$

– Khi đó theo định lý Vi-et ta có : x1 + x2 = – m và x1x2 = m + 3
Màx12 + x22 = x12 + 2×1 x2 + x22 – 2×1 x2
= ( x1 + x2 ) 2 – 2×1 x2 = ( – m ) 2 – 2 ( m + 3 ) = mét vuông – 2 m – 6
– Do đó, để : x12 + x22 = 9 mét vuông – 2 m – 6 = 9 mét vuông – 2 m – 15 = 0

Ta tínhΔ’m = (-1)2 – 1(-15) = 16 $small sqrt{Delta_{m}^{'} }=4$

PT có 2 nghiệm m1 = ( 1 + 4 ) / 1 = 5 và mét vuông = ( 1-4 ) / 1 = – 3
– Thử lại ĐK của m đểΔ 0 :
_ Với m = 5 Δ = 25 – 32 = – 7 < 0 ( loại ) _ Với m = – 3 Δ = 9 > 0 ( thoả ĐK )
Vậy với m = – 3 thì PT ( * ) có 2 nghiệm thoảx12 + x22 = 9
c ) Theo câu b ) PT có 2 nghiệm x1, x2Δ 0

Theo Vi-et ta có: $small left{egin{matrix} x_{1}+x_{2}=-m x_{1}x_{2}=m+3 end{matrix} ight.$

– Theo nhu yếu bài toán ta cần tìm m sao cho : 2×1 + 3×2 = 5, ta sẽ tìm x1 và x2 theo m

– Ta giải hệ: $small dpi{100} g_white fn_cm small left{egin{matrix} x_{1}+x_{2}=-m 2x_{1}+3x_{2}=5 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 3x_{1}+3x_{2}=-3m 2x_{1}+3x_{2}=5 end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} x_{1}=-3m-5 x_{2}=2m+5 end{matrix} ight.$

– Lại cóx1x2 = m + 3 ( – 3 m – 5 ) ( 2 m + 5 ) = m + 3
– 6 mét vuông – 25 m – 25 = m + 3
6 mét vuông + 26 m + 28 = 0
3 mét vuông + 13 m + 14 = 0
TínhΔm = 132 – 4.3.14 = 1 > 0 .
PT có 2 nghiệm phân biệt : m1 = – 7/3 ; mét vuông = – 2
– Thử lại điều kiện kèm theo : Δ 0 ;
_ Với m = – 7/3 ; Δ = 25/9 > 0 ( thoả )
_ Với m = – 2 ; Δ = 0 ( thoả )
Kết luận : với m = – 2 hoặc m = – 7/3 thì PT có 2 nghiệm thoả 2×1 + 3×2 = 5 .

Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

* Phương pháp: Vận dụng linh hoạt theo yêu cầu bài toán để lập phương trình và giải

Ví dụ: Trong lúc học nhóm Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số, sao cho 2 số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 bạn Minh và Lan phải chọn nhưng số nào?

* Lời giải:

– Gọi số bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5
– Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 nên ta có : x ( x + 5 ) = 150
x2 + 5 x – 150 = 0

$small Delta = 5^{2}-4(-150)=625 0Rightarrow sqrt{Delta }=25$

– Phương trình có nghiệm x1 = 10 ; x2 = – 15
– Vậy có 2 cặp số thỏa là : ( 10 ; 15 ) và ( – 15 ; – 10 )

III. Bài tập Phương trình bậc 2 một ẩn

Bài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau:

a ) x2 – 8 = 0 b ) 5×2 – 20 = 0 c ) 0,4 x2 + 1 = 0
d ) 2×2 + x2 = 0 e ) – 0,4 x2 + 1,2 x = 0

* Lời giảiBài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2:

a ) x2 – 8 = 0 x2 = 8 x = ± 22
b ) 5×2 – 20 = 0 x2 = 4 x = ± 2
c ) 0,4 x2 + 1 = 0 x2 = – 2,5 PT vô nghiệm
d ) 2×2 + x2 = 0 x2. ( x2 + 1 ) = 0 x = 0 hoặc x = – 50%
e ) – 0,4 x2 + 1,2 x = 0 0,4 x ( – x + 3 ) = 0 x = 0 hoặc x = 3

Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2:Dùng công thức nghiệm giải các phương trình sau

a ) 2×2 – 7 x + 3 = 0 b ) 6×2 + x + 5 = 0
c ) 6×2 + x – 5 = 0 d ) 3×2 + 5 x + 2 = 0
e ) y2 – 8 y + 16 = 0 f ) 16 z2 + 24 z + 9 = 0

* Lời giảiBài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2:

a ) 2×2 – 7 x + 3 = 0

$small Delta =(-7)^{2}-4.2.3=250,sqrt{Delta }=5$

– Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

$small x_{1}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=frac{7-5}{4}=frac{1}{2}$ ; $small dpi{100} g_white fn_cm small x_{2}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}=frac{7+5}{4}=frac{12}{4}=3$

b ) PT vô nghiệm
c ) x1 = – 1 ; x2 = 5/6
d ) x1 = – 1 ; x2 = – 2/3
e ) nghiệm kép : y = 4
f ) nghiệm kép : z = – 3/4

III. Luyện tập các dạng bài tập phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $small x^{2}-2sqrt{5}x+5=0$

b) $small x^{2}-6x+14=0$

c) $small 2sqrt{3}.x^{2}+x+1=sqrt{3}.x+1$

d) $small 16x^{2}-40x+25=0$

e) $small x^{2}+2sqrt{2}.x+4=3x+sqrt{2}$

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp tính nhẩm nghiệm

a) $small 3x^{2}-11x+8=0$

b) $small x^{2}-(1+sqrt{3})x+sqrt{3}=0$

c) $small 5x^{2}+24x+19=0$

d) $small x^{2}-12x+27=0$

e) $small x^{2}-10x+21=0$

f) $small (1-sqrt{2})x^{2}-2(1+sqrt{2})x+1+3sqrt{2}=0$

Bài 3: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

1) $small A=frac{1}{x_{1}-1}+frac{1}{x_{2}-1}$

2) $small B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

3) $small C=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$

4) $small D=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}$

5) $small E=left (3x_{1}+x_{2} ight )left ( x_{1}+3x_{2} ight )$

Bài 4:Gọi x1và x2là nghiệm của phương trình 3×2+ 5x – 6 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

1) $small A=frac{x_{2}}{x_{1}-1}+frac{x_{1}}{x_{2}-1}$

2) $small B=frac{x_{1}+2}{x_{1}}+frac{x_{2}+2}{x_{2}}$

Bài 5:Cho phương trình (2m-1)x2 – 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0)

Bài 6:Cho phương trình có ẩn x: x2 – mx + m – 1 = 0(m là tham số).

1 ) CMR luôn có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m

2) Đặt $small A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2}$

a ) Chứng minh : A = mét vuông – 8 m + 8
b ) Tìm m sao cho A = 8 .

c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và của m tương ứng

Xem thêm: Những Câu nói Hay về Anh Em Xã Hội cực chất, đáng suy ngẫm – Chuyên Tour Trekking – Camping – Team Building | http://139.180.218.5

d ) Tìm m sao cho x1 = 3×2 .

Hy vọng với bài viết hướng dẫn cách giải phương trình bậc 2 một ẩn và các dạng toán cùng cách tính nhẩm nghiệm ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại lời nhắn dưới phần bình luận để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.