RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
Các em thân mến, câu rút gọn biểu thức chứa căn thường chiếm 2 điểm trong đề thi vào 10 của tất cả các tỉnh thành trên cả nước. Trong bài viết này hệ thống giáo dục Vinastudy.vn sẽ hướng dẫn cách giải bài toán “Rút gọn biểu thức chứa can bậc hai”. Đây là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 8 lên 9, để chuẩn bị kiến thức cho năm học lớp 9 và ôn thi vào 10 thật tốt. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo !
Tải file PDF tại link: rut-gon-bieu-thuc-chua-can-bac-hai-tl310.html
Bạn đang đọc: Ôn tập Toàn dạng bài rút gọn biểu thức căn bậc hai.
- I) LÝ THUYẾT
– Để rút gọn những biểu thức chứa căn cần vận dụng thích hợp những phép toán đơn thuần như : đưa thừa số ra ngoài dấu căn, vào trong dấu căn, trục căn thức ở mẫu, sử dụng hằng đẳng thức để nghiên cứu và phân tích thành nhân tử và tìm mẫu thức chung …
– Nếu bài toán chưa cho điều kiện kèm theo của USD x USD thì ta cần phải tìm điều kiện kèm theo trước khi rút gọn .
– Trong những đề thi Toán vào 10, sau khi rút gọn biểu thức, ta thường gặp những bài toán tương quan như :
+ ) Tính giá trị của A tại USD x = { { x } _ { 0 } } $
+ ) Tìm USD x USD để A > m ; A < m hay A = m .
+ ) Tìm GTLN hoặc GTNN của A .
+ ) Tìm USD x $ nguyên để A nguyên .
...
- II) BÀI TẬP
Bài 1: Cho K = $2\left( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}+1}{{{x}^{2}}-x} \right)$ (với $x>0;x\ne 1$)
- a) Rút gọn biểu thức K.
- b) Tìm $x$ để K = $\sqrt{2012}$
Bài giải:
K = USD 2 \ left ( \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 1 } – \ frac { 1 } { \ sqrt { x } } \ right ) : \ left ( \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { { { x } ^ { 2 } } – x } \ right ) = 2 \ left [ \ frac { \ sqrt { x } – \ sqrt { x } + 1 } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ sqrt { x } } \ right ] : \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { x \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } $
USD = \ frac { 2 } { \ sqrt { x }. \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } : \ frac { 1 } { x \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = 2 \ sqrt { x } $
- b) Để K = $\sqrt{2012}$ thì $2\sqrt{x}=\sqrt{2012}$
USD \ Leftrightarrow 2 \ sqrt { x } = 2 \ sqrt { 503 } $
USD \ Leftrightarrow x = 503 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )
Vậy USD x = 503 USD
Bài 2: Cho hai biểu thức A = $\frac{4\left( \sqrt{x}+1 \right)}{25-x}$ và B = $\left( \frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge 0;x\ne 25$
1 ) Tính giá trị của biểu thức A khi USD x = 9 USD
2 ) Rút gọn biểu thức B .
3 ) Tìm tổng thể những giá trị nguyên của USD x USD để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất .
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố TP.HN năm học 2019 – 2020 )
Bài giải:
1 ) Với USD x = 9 $ ta có :
A = $ \ frac { 4 \ left ( \ sqrt { 9 } + 1 \ right ) } { 25-9 } = \ frac { 4 \ left ( 3 + 1 \ right ) } { 16 } = 1 USD
Vậy với USD x = 9 $ thì giá trị của biểu thức A là : 1 .
2 ) Với USD x \ ge 0 ; x \ ne 25 $ ta có :
B = $ \ left ( \ frac { 15 – \ sqrt { x } } { x-25 } + \ frac { 2 } { \ sqrt { x } + 5 } \ right ) : \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } – 5 } = \ frac { 15 – \ sqrt { x } + 2 \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) } : \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } – 5 } $
USD = \ frac { \ sqrt { x } + 5 } { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } – 5 } { \ sqrt { x } + 1 } = \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 1 } $
3 ) Với USD x \ ge 0 ; x \ ne 25 $ ta có :
P. = A.B = $ \ frac { 4 \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } { 25 – x }. \ frac { 1 } { \ sqrt { x } + 1 } = \ frac { 4 } { 25 – x } $
+ ) Với USD 25 – x < 0 \, \, \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, \, \, x > 25 $ thì P < 0
+ ) Với USD 25 - x > 0 \, \, \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, x < 25 $ thì P > 0
Để P nhận giá trị lớn nhất thì USD 25 – x > 0 $ và USD 25 – x USD nhận giá trị nhỏ nhất .
Mà : USD x USD là số nguyên nên USD 25 – x = 1 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, x = 24 USD
Vậy P nhận giá trị lớn nhất là : P = $ \ frac { 4 } { 25-24 } = 4 $ khi USD x = 24 USD
Bài 3: Cho hai biểu thức A = $\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}$ và B = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0;x\ne 1$.
1 ) Tính giá trị của biểu thức A khi USD x = 9 USD .
2 ) Chứng minh : B = $ \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 1 } $
3 ) Tìm tổng thể những giá trị của USD x USD để $ \ frac { A } { B } \ ge \ frac { x } { 4 } + 5 USD
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố TP. Hà Nội năm học 2018 – 2019 )
Bài giải:
1 ) Với USD x = 9 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo của biểu thức A ) ta có :
A = $ \ frac { \ sqrt { 9 } + 4 } { \ sqrt { 9 } – 1 } = \ frac { 7 } { 2 } $
Vậy với USD x = 9 $ thì giá trị của biểu thức A là : $ \ frac { 7 } { 2 } $
2 ) Với USD x \ ge 0 ; x \ ne 1 $, ta có :
B = $ \ frac { 3 \ sqrt { x } + 1 } { x + 2 \ sqrt { x } – 3 } – \ frac { 2 } { \ sqrt { x } + 3 } = \ frac { 3 \ sqrt { x } + 1 } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } – \ frac { 2 } { \ sqrt { x } + 3 } $
USD = \ frac { 3 \ sqrt { x } + 1-2 \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } + 3 } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 1 } $
Vậy với USD x \ ge 0 ; x \ ne 1 $ thì B = $ \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 1 } $
3 ) Với USD x \ ge 0 ; x \ ne 1 $, ta có :
USD \ begin { align } và \ frac { A } { B } \ ge \ frac { x } { 4 } + 5 \, \, \, \, \, \, \, \ Leftrightarrow \ frac { \ sqrt { x } + 4 } { \ sqrt { x } – 1 } : \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 1 } \ ge \ frac { x } { 4 } + 5 \ \ và \ Leftrightarrow \ sqrt { x } + 4 \ ge \ frac { x } { 4 } + 5 \ \ và \ Leftrightarrow x-4 \ sqrt { x } + 4 \ le 0 \ \ và \ Leftrightarrow { { \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) } ^ { 2 } } \ le 0 \ \ và \ Leftrightarrow \ sqrt { x } – 2 = 0 \ \ \ end { align } $
USD \ Leftrightarrow x = 4 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )
Vậy USD x = 4 USD
Bài 4: Cho hai biểu thức A = $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và B = $\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0,x\ne 25$.
1 ) Tính giá trị của biểu thức A khi USD x = 9 USD
2 ) Chứng minh B = $ \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 5 } $
3 ) Tìm tổng thể giá trị của USD x USD để $ A = B. | x-4 | $
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố Thành Phố Hà Nội năm học 2017 – 2018 )
Bài giải:
1 ) Với USD x = 9 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo xác lập của biểu thức A ) ta có :
A = $ \ frac { \ sqrt { 9 } + 2 } { \ sqrt { 9 } – 5 } = – \ frac { 5 } { 2 } $
Vậy với USD x = 9 $ thì A = $ – \ frac { 5 } { 2 } $
2 ) Với USD x \ ge 0, x \ ne 25 $ ta có :
B = $ \ frac { 3 } { \ sqrt { x } + 5 } + \ frac { 20-2 \ sqrt { x } } { x-25 } = \ frac { 3 } { \ sqrt { x } + 5 } + \ frac { 20-2 \ sqrt { x } } { \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) } $
USD = \ frac { 3 \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) + 20-2 \ sqrt { x } } { \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } + 5 } { \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) } = \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 5 } $
Vậy B = $ \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 5 } $ ( điều phải chứng tỏ )
3 ) Với USD x \ ge 0, x \ ne 25 $ ta có :
USD \ begin { align } và A = B. | x-4 | \, \, \, \, \, \ Leftrightarrow \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { \ sqrt { x } – 5 } = \ frac { 1 } { \ sqrt { x } – 5 }. | x-4 | \ \ và \ Leftrightarrow \ sqrt { x } + 2 = | x-4 | \ \ \ end { align } $
|
Chú ý các dạng toán về giá trị tuyệt đối: Dạng 1: $|f\left( x \right)|=k$ trong đó $f\left( x \right)$ là biểu thức chứa biến $x$, k là một số cho trước. Phương pháp giải: Nếu k < 0 thì phương trình vô nghiệm . Nếu k = 0 thì $ | f \ left ( x \ right ) | = k $ $ \ Leftrightarrow f \ left ( x \ right ) = 0 USD Nếu k > 0 thì $ | f \ left ( x \ right ) | = k \, \, \, \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { align } và f \ left ( x \ right ) = k \ \ và f \ left ( x \ right ) = – k \ \ \ end { align } \ right. $ Dạng 2: $|f\left( x \right)|=|g\left( x \right)|$ Cách giải: $|f\left( x \right)|=|g\left( x \right)|\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & f\left( x \right)=g\left( x \right) \\ & f\left( x \right)=-g\left( x \right) \\ \end{align} \right.$ Dạng 3: $|f\left( x \right)|=g\left( x \right)$ (1) Cách giải: +) Nếu $f\left( x \right)\ge 0$ thì (1) trở thành: $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ Giải phương trình và kiểm tra điều kiện kèm theo USD f \ left ( x \ right ) \ ge 0 USD |
+ ) Với USD x-4 \ ge 0 \, \, \, \, \ Leftrightarrow x \ ge 4 $ phương trình trở thành :
USD \ begin { array } { * { 35 } { l } } \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và \ sqrt { x } + 2 = x-4 \ \ \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và \ Leftrightarrow x – \ sqrt { x } – 6 = 0 \ \ \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và \ Leftrightarrow \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) = 0 \ \ \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và { } \ \ \ end { array } $
USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { align } và \ sqrt { x } + 2 = 0 \ \ và \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } \ sqrt { x } – 3 = 0 \ \ \ end { align } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { * { 35 } { l } } \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và \ sqrt { x } = – 2 ( KTM ) \ \ \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và \ sqrt { x } = 3 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow x = 9 ( TM ) USD
+ ) Với USD x-4 < 0 \, \, \, \ Leftrightarrow x < 4 USD, phương trình trở thành :
USD \ begin { align } và \ sqrt { x } + 2 = - \ left ( x-4 \ right ) \ \ và \ Leftrightarrow - x - \ sqrt { x } + 2 = 0 \ \ và \ Leftrightarrow \ left ( \ sqrt { x } - 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) = 0 \ \ \ end { align } $
USD \ Rightarrow \ left [ \ begin { align } và \ sqrt { x } - 1 = 0 \ \ và \ sqrt { x } + 2 = 0 \ \ \ end { align } \ right. $
USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { align } và \ sqrt { x } = 1 \ \ và \ sqrt { x } = - 2 \, \, ( KTM ) \ \ \ end { align } \ right. $
USD \ Leftrightarrow x = 1 ( TM ) USD
Vậy USD x = 1 ; x = 9 USD .
Bài 5: Cho hai biểu thức A = $\frac{7}{\sqrt{x}+8}$ và B = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$ với $x\ge 0;x\ne 9$.
1 ) Tính giá trị của biểu thức A khi USD x = 25 USD
2 ) Chứng minh B = $ \ frac { \ sqrt { x } + 8 } { \ sqrt { x } + 3 } $
3 ) Tìm USD x USD để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên .
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố Thành Phố Hà Nội năm học năm nay – 2017 )
Bài giải:
1 ) Với USD x = 25 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo xác lập của A ) ta có :
A = $ \ frac { 7 } { \ sqrt { 25 } + 8 } = \ frac { 7 } { 13 } $
Vậy với USD x = 25 $ thì A = $ \ frac { 7 } { 13 } $
2 ) Với USD x \ ge 0 ; x \ ne 9 $ ta có :
B = $ \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 3 } + \ frac { 2 \ sqrt { x } – 24 } { x-9 } = \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 3 } + \ frac { 2 \ sqrt { x } – 24 } { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } $
USD = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) + 2 \ sqrt { x } – 24 } { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } = \ frac { x + 5 \ sqrt { x } – 24 } { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 8 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } – 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } + 8 } { \ sqrt { x } + 3 } $
Vậy B = $ \ frac { \ sqrt { x } + 8 } { \ sqrt { x } + 3 } $ ( điều phải chứng tỏ )
3 ) P = A.B $ \ Rightarrow P = \ frac { 7 } { \ sqrt { x } + 8 }. \ frac { \ sqrt { x } + 8 } { \ sqrt { x } + 3 } = \ frac { 7 } { \ sqrt { x } + 3 } $
Ta có : $ \ sqrt { x } \ ge 0 \, \, \, \, \ Rightarrow \ sqrt { x } + 3 \ ge 3 $ với $ \ forall x USD
Suy ra : $ \ frac { 7 } { \ sqrt { x } + 3 } \ le \ frac { 7 } { 3 } $
Để P. là số nguyên thì P $ \ in USD { 1 ; 2 }
+) Với P = 1 thì $\frac{7}{\sqrt{x}+3}=1\,\,\,\Leftrightarrow \sqrt{x}+3=7$
USD \ Leftrightarrow \ sqrt { x } = 4 USD
USD \ Leftrightarrow x = 16 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )
+ ) Với P = 2 thì $ \ frac { 7 } { \ sqrt { x } + 3 } = 2 \, \, \, \ Leftrightarrow \ sqrt { x } + 3 = \ frac { 7 } { 2 } $
USD \ Leftrightarrow \ sqrt { x } = \ frac { 1 } { 2 } $
USD \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { 4 } $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )
Vậy USD x \ in \ left \ { 16 ; \ frac { 1 } { 4 } \ right \ } $
Bài 6: Cho hai biểu thức P = $\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}$ và Q = $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}$ với $x>0;x\ne 4$.
1 ) Tính giá trị của biểu thức P. khi USD x = 9 USD .
2 ) Rút gọn biểu thức Q. .
3 ) Tìm giá trị của USD x USD để biểu thức $ \ frac { P } { Q } $ đạt giá trị nhỏ nhất .
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, thành phố Thành Phố Hà Nội năm học năm ngoái – năm nay )
Bài giải:
1 ) Với USD x = 9 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo xác lập của P. ) ta có :
P. = $ \ frac { 9 + 3 } { \ sqrt { 9 } – 2 } = 12 USD
Vậy với USD x = 9 $ thì giá trị của biểu thức P. là : 12 .
2 ) Với USD x > 0 ; x \ ne 4 $ ta có :
Q. = $ \ frac { \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 2 } + \ frac { 5 \ sqrt { x } – 2 } { x-4 } = \ frac { \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 2 } + \ frac { 5 \ sqrt { x } – 2 } { \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) + 5 \ sqrt { x } – 2 } { \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } $
USD = \ frac { x + 2 \ sqrt { x } } { \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } – 2 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 2 \ right ) } = \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 2 } $
Vậy Q = $ \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 2 } $
3 ) Với USD x > 0 ; x \ ne 4 $ ta có :
USD \ frac { P } { Q } = \ frac { x + 3 } { \ sqrt { x } – 2 } : \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } – 2 } = \ frac { x + 3 } { \ sqrt { x } } = \ sqrt { x } + \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } $
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :
USD \ sqrt { x } + \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } \ ge 2 \ sqrt { x. \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } } = 2 \ sqrt { 3 } $
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $ \ sqrt { x } = \ frac { 3 } { \ sqrt { x } } \, \, \, \, \ Leftrightarrow x = 3 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ \ frac { P } { Q } $ là USD 2 \ sqrt { 3 } $ khi USD x = 3 USD
Bài 7: Cho biểu thức A = $\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}$ với $x\ge 0;\,\,\,x\ne 1$.
- a) Rút gọn biểu thức A.
- b) Tìm $x$ là số chính phương để $2019.A$ là số nguyên.
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh TP Bắc Ninh năm học 2019 – 2020 )
Bài giải:
- a) Với $x\ge 0;\,\,\,x\ne 1$ ta có:
A = $ \ frac { { { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } ^ { 2 } } + { { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } – \ frac { 3 \ sqrt { x } + 1 } { x-1 } = \ frac { x + 2 \ sqrt { x } + 1 + x-2 \ sqrt { x } + 1 } { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } – \ frac { 3 \ sqrt { x } + 1 } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } $
USD = \ frac { 2 x + 2 } { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } – \ frac { 3 \ sqrt { x } + 1 } { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { 2 x – 3 \ sqrt { x } + 1 } { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { \ left ( 2 \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { 2 \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 1 } $
- b) Với $x\ge 0;\,\,\,x\ne 1$ ta có:
USD 2019. A = 2019. \ frac { 2 \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 1 } = 2019. \ left ( 2 – \ frac { 3 } { \ sqrt { x } + 1 } \ right ) = 4038 – \ frac { 6057 } { \ sqrt { x } + 1 } $
Vì USD x USD là số chính phương nên $ \ sqrt { x } + 1 USD là số tự nhiên .
Để x USD 2019. A $ là số nguyên thì $ \ frac { 6057 } { \ sqrt { x } + 1 } $ cũng là số nguyên .
Mà : $ \ sqrt { x } + 1 USD là số tự nhiên nên $ \ sqrt { x } + 1 \ in \ text { } \ ! \ ! \ { \ ! \ ! \ text { } 1 ; 3 ; 9 ; 2019 ; 6057 \ } $
Ta có bảng sau :
| USD \ sqrt { x } + 1 USD | 1 | 3 | 9 | 2019 | 6057 |
| USD x USD | 0 | 4 | 64 | USD { { 2018 } ^ { 2 } } $ | USD { { 6056 } ^ { 2 } } $ |
Vậy USD x \ in \ text { } \ ! \ ! \ { \ ! \ ! \ text { } 0 ; 4 ; 64 ; { { 2018 } ^ { 2 } } ; { { 6056 } ^ { 2 } } \ text { } \ ! \ ! \ } \ ! \ ! \ text { } $
Bài 8: Cho biểu thức P = $\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$ với $x\ge 0;x\ne 1$.
1 ) Rút gọn biểu thức P. .
2 ) Tìm USD x USD sao cho P = $ – \ frac { 1 } { 2 } $
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh Tỉnh Thái Bình năm học 2017 – 2018 )
Bài giải:
1 ) Với USD x \ ge 0 ; x \ ne 1 $ ta có :
P. = $ \ frac { 3 x + 5 \ sqrt { x } – 4 } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } – \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } + 3 } + \ frac { \ sqrt { x } + 3 } { \ sqrt { x } – 1 } $
P. = $ \ frac { 3 + 5 \ sqrt { x } – 4 } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } – \ frac { \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } + \ frac { { { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) } ^ { 2 } } } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } $
P. = $ \ frac { 3 x + 5 \ sqrt { x } – 4 – x + 1 + x + 6 \ sqrt { x } + 9 } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } $
P. = $ \ frac { 3 x + 11 \ sqrt { x } + 6 } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( 3 \ sqrt { x } + 2 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } + 3 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = \ frac { 3 \ sqrt { x } + 2 } { \ sqrt { x } – 1 } $
2 ) Với USD x \ ge 0 ; x \ ne 1 $ ta có :
Để P = $ – \ frac { 1 } { 2 } $ thì $ \ frac { 3 \ sqrt { x } + 2 } { \ sqrt { x } – 1 } = – \ frac { 1 } { 2 } $
USD \ begin { align } và \ Leftrightarrow \ frac { 6 \ sqrt { x } + 4 + \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } { 2 \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = 0 \ \ và \ Leftrightarrow \ frac { 7 \ sqrt { x } + 3 } { 2 \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) } = 0 \ \ \ end { align } $
USD \ Leftrightarrow 7 \ sqrt { x } + 3 = 0 $ ( không có giá trị nào của USD x USD thỏa mãn nhu cầu )
Vậy không có giá trị nào của USD x USD để P = $ – \ frac { 1 } { 2 } $
Bài 9: Cho P = $\frac{1}{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$ với $x>0;x\ne 1$.
1 ) Rút gọn biểu thức P. .
2 ) Tìm những giá trị của USD x USD sao cho 3P = USD 1 + x USD
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, tỉnh Tỉnh Nam Định năm học 2017 – 2018 )
Bài giải:
1 ) Với USD x > 0 ; x \ ne 1 $ ta có :
P. = $ \ frac { 1 } { { { x } ^ { 2 } } – \ sqrt { x } } : \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { x \ sqrt { x } + x + \ sqrt { x } } = \ frac { 1 } { \ sqrt { x } \ left [ { { \ left ( \ sqrt { x } \ right ) } ^ { 3 } } – 1 \ right ] } : \ frac { \ sqrt { x } + 1 } { \ sqrt { x } \ left ( x + \ sqrt { x } + 1 \ right ) } $
USD = \ frac { 1 } { \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( x + \ sqrt { x } + 1 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } \ left ( x + \ sqrt { x } + 1 \ right ) } { \ sqrt { x } + 1 } = \ frac { 1 } { \ left ( \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 1 \ right ) } = \ frac { 1 } { x-1 } $
Vậy P = $ \ frac { 1 } { x-1 } $
2 ) Với USD x > 0 ; x \ ne 1 $ ta có :
Để 3P = USD 1 + x USD thì USD 3. \ frac { 1 } { x-1 } = 1 + x USD
USD \ begin { array } { * { 35 } { l } } \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và \ Leftrightarrow 3 = \ left ( x-1 \ right ) \ left ( x + 1 \ right ) \ \ \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và \ Leftrightarrow 3 = { { x } ^ { 2 } } – 1 \ \ { } và \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } = 4 \ \ { } và { } \ \ \ end { array } $
USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { * { 35 } { l } } \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và x = 2 ( TM ) \ \ \ text { } \ ! \ ! ~ \ ! \ ! \ text { } và x = – 2 ( KTM ) \ \ \ end { array } \ right. $
Vậy để 3P = USD 1 + x USD thì USD x = 2 USD
Bài 10: 1) Cho biểu thức A = $\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$ (với $x\ge 0$). Tính giá trị của A khi $x=9$.
2 ) Cho biểu thức B = $ \ left ( \ frac { x + 14 \ sqrt { x } – 5 } { x-25 } + \ frac { \ sqrt { x } } { \ sqrt { x } + 5 } \ right ) : \ frac { \ sqrt { x } + 2 } { \ sqrt { x } – 5 } $ với USD x \ ge 0 $ và USD x \ ne 25 USD .
- a) Rút gọn B.
- b) Tìm $x$ để ${{B}^{2}}
( Đề thi thử vào 10 môn Toán, trường trung học cơ sở và trung học phổ thông Lương Thế Vinh năm học 2019 – 2020 )
Bài giải:
1 ) Thay $ x = 9 $ ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo xác lập của A ) ta có :
A = $ \ frac { 2 \ sqrt { 9 } + 1 } { \ sqrt { 9 } + 2 } = \ frac { 7 } { 5 } $
Vậy với USD x = 9 $ thì giá trị của biểu thức A là : $ \ frac { 7 } { 5 } $
2 ) Với USD x \ ge 0 $ và USD x \ ne 25 $ ta có :
- a) B = $\left( \frac{x+14\sqrt{x}-5}{x-25}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=\left( \frac{x+14\sqrt{x}-5}{\left( \sqrt{x}+5 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \right):\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$
USD \ begin { align } và = \ frac { x + 14 \ sqrt { x } – 5 + \ sqrt { x } \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } – 5 } { \ sqrt { x } + 2 } \ \ và = \ frac { 2 x + 9 \ sqrt { x } – 5 } { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } – 5 } { \ sqrt { x } + 2 } = \ frac { \ left ( 2 \ sqrt { x } – 1 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) } { \ left ( \ sqrt { x } – 5 \ right ) \ left ( \ sqrt { x } + 5 \ right ) }. \ frac { \ sqrt { x } – 5 } { \ sqrt { x } + 2 } \ \ và = \ frac { 2 \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 2 } \ \ \ end { align } $
Vậy B = $ \ frac { 2 \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 2 } $
- b) Để ${{B}^{2}}
USD \ begin { align } và \ Leftrightarrow B \ left ( B-1 \ right )
Suy ra : USD 0+ ) Với USD 0USD \ Leftrightarrow \ sqrt { x }USD \ Leftrightarrow 0 \ le x+ ) Với $ \ frac { 2 \ sqrt { x } – 1 } { \ sqrt { x } + 2 } < 1 \, \, \, \ Leftrightarrow \ frac { 2 \ sqrt { x } - 1 } { \ sqrt { x } + 2 } - 1 < 0 USD
USD \ begin { align } và \ Leftrightarrow \ frac { \ sqrt { x } - 3 } { \ sqrt { x } + 2 }
USD \ Leftrightarrow 0 \ le x < 9 USD ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : USD 0 \ le x
Vậy để ${{B}^{2}}
——————————————————-
Phụ huynh có thể tham khảo các khóa học Toán lớp 9 tại link:
Toán lớp 9: vina-1-on-va-luyen-toan-9-c14781.html
Khóa học Ôn thi vào 10 tại link:
Ôn thi vào 10: khoa-hoc-luyen-thi-vao-lop-10-mon-toan-dat-diem-cao-c12902.html
Tác giả : Vinastudy
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Hỗ trợ học tập:
_Kênh Youtube:
_Facebook fanpage:
_Hội học sinh Vinastudy Online:
Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn