1. Phương trình chứa căn cơ bản

+ ) \ ( \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } = g \ left ( x \ right ) \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } g \ left ( x \ right ) \ ge 0 \ \ f \ left ( x \ right ) = { g ^ 2 } \ left ( x \ right ) \ end { array } \ right. \ )
+ ) \ ( \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } = \ sqrt { g \ left ( x \ right ) } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } f \ left ( x \ right ) \ ge 0 \ \ f \ left ( x \ right ) = g \ left ( x \ right ) \ end { array } \ right. \ ) hoặc \ ( \ left \ { \ begin { array } { l } g \ left ( x \ right ) \ ge 0 \ \ f \ left ( x \ right ) = g \ left ( x \ right ) \ end { array } \ right. \ )

ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) hoặc \(g\left( x \right) \ge 0\) phụ thuộc vào hai hàm \(f\left( x \right),g\left( x \right)\), hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(g\left( x \right) \ge 0\)

+ ) \ ( f \ left ( x \ right ). \ sqrt { g \ left ( x \ right ) } = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } g \ left ( x \ right ) = 0 \ \ \ left \ { \ begin { array } { l } g \ left ( x \ right ) \ ge 0 \ \ f \ left ( x \ right ) = 0 \ end { array } \ right. \ end { array } \ right. \ )

2. Một số phương pháp giải phương trình chứa căn

Phương pháp chung:

– Bước 1 : Đặt điều kiện kèm theo cho căn có nghĩa .
– Bước 2 : Chuyển vế để hai vế không âm .
– Bước 3 : Bình phương hai vế để đưa về một trong những dạng phương trình căn cơ bản .

a) Phương pháp đặt ẩn phụ

Loại 1 : \ ( a. f \ left ( x \ right ) + b \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } + c = 0 \ )
Đặt \ ( t = \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } \ ge 0 \ ) thì phương trình trở thành \ ( a { t ^ 2 } + bt + c = 0 \ )
Loại 2 : \ ( \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } + \ sqrt { g \ left ( x \ right ) } + \ sqrt { f \ left ( x \ right ). g \ left ( x \ right ) } = h \ left ( x \ right ) \ )
Đặt \ ( t = \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } + \ sqrt { g \ left ( x \ right ) } \ ) và biến hóa phương trình về ẩn \ ( t \ )

Loại 3: \(\sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)}  = h\left( x \right)\)

Đặt ẩn phụ \ ( u = \ sqrt { f \ left ( x \ right ) }, v = \ sqrt { g \ left ( x \ right ) } \ ) đưa về hệ phương trình với ẩn \ ( u, v \ )

b) Đưa về phương trình tích

Phương pháp chung:

Đoán nghiệm của phương trình để xu thế đưa về phương trình dạng tích hoặc nhân biểu thức phối hợp .

c) Sử dụng hằng đẳng thức đưa về phương trình cơ bản

Loại 1 : \ ( \ sqrt [ 3 ] { A } + \ sqrt [ 3 ] { B } = \ sqrt [ 3 ] { C } \, \, \, \, \, \, \ left ( * \ right ) \ )
– Bước 1 : Biến đổi \ ( \ left ( * \ right ) \ Leftrightarrow { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { A } + \ sqrt [ 3 ] { B } } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { C } } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow A + B + 3 \ sqrt [ 3 ] { { AB } } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { A } + \ sqrt [ 3 ] { B } } \ right ) = C \, \, \, \, \ left ( { * * } \ right ) \ )
– Bước 2 : Thay \ ( \ sqrt [ 3 ] { A } + \ sqrt [ 3 ] { B } = \ sqrt [ 3 ] { C } \ ) vào \ ( \ left ( { * * } \ right ) \ ) ta được : \ ( \ left ( { * * } \ right ) \ Rightarrow A + B + 3 \ sqrt [ 3 ] { { ABC } } = C \ )
– Bước 3 : Giải phương trình trên và Tóm lại nghiệm
Loại 2 : \ ( \ sqrt { f \ left ( x \ right ) } + \ sqrt { g \ left ( x \ right ) } = \ sqrt { h \ left ( x \ right ) } + \ sqrt { k \ left ( x \ right ) } \ ) với \ ( \ left [ \ begin { array } { l } f \ left ( x \ right ) + h \ left ( x \ right ) = g \ left ( x \ right ) + k \ left ( x \ right ) \ \ f \ left ( x \ right ). h \ left ( x \ right ) = g \ left ( x \ right ). k \ left ( x \ right ) \ end { array } \ right. \ )

– Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: \(\sqrt {f\left( x \right)}  – \sqrt {h\left( x \right)}  = \sqrt {k\left( x \right)}  – \sqrt {g\left( x \right)} \)

– Bước 2 : Bình phương, giải phương trình hệ quả .
Loại 3 : Căn trong căn
Sử dụng hằng đẳng thức \ ( { a ^ 2 } + { b ^ 2 } \ pm 2 ab = { \ left ( { a \ pm b } \ right ) ^ 2 } \ ) cần chú ý quan tâm : \ ( \ left | A \ right | = \ left \ { \ begin { array } { l } A \, \, \, khi \, \, \, A \ ge 0 \ \ A \, \, \, khi \, \, \, A < 0 \ end { array } \ right. \ )

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn