Trong số học, bội số chung nhỏ nhất (hay còn gọi tắt là bội chung nhỏ nhất, được viết tắt là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b.[1] Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lại số dư. Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0.

Định nghĩa trên đôi khi được tổng quát hoá cho nhiều số nguyên dương: Bội chung nhỏ nhất của a1,…, an là số nguyên dương nhỏ nhất là bội số của a1,…, an.

Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là [a,b], BCNN(a,b) hoặc LCM(a,b).

Ký hiệu tương tự cho bội số chung nhỏ nhất của a1,…, an.

Bội của 4 là :

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

(thêm 4 để được bội số tiếp theo).

Bội của 6 là :

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,…

( thêm 6 để được bội số tiếp theo ) .

Bội chung của 4 và 6 là các số cùng xuất hiện trong hai dãy trên (không tính số 0):

12, 24, 36, 48,…

Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12

Khi cộng, trừ hoặc so sánh những phân số, nó đặc biệt quan trọng có ích khi tìm bội số chung của mẫu số, thường gọi là mẫu số chung nhỏ nhất ( hay mẫu chung nhỏ nhất ) .

2 21 + 1 6 = 4 42 + 7 42 = 11 42, { \ displaystyle { 2 \ over 21 } + { 1 \ over 6 } = { 4 \ over 42 } + { 7 \ over 42 } = { 11 \ over 42 }, }

mẫu số 42 được sử dụng chính bới nó là bội chung nhỏ nhất của 21 và 6 .

Tính bội số chung nhỏ nhất.

Công thức dưới đây chuyển từ việc tính bội số chung nhỏ nhất sang tính ước số chung lớn nhất ( GCD ) :

BCNN ⁡ ( a, b ) = | a ⋅ b | UCLN ⁡ ( a, b ). { \ displaystyle \ operatorname { BCNN } ( a, b ) = { \ frac { | a \ cdot b | } { \ operatorname { UCLN } ( a, b ) } }. }

Có một thuật toán nhanh để tìm GCD mà không nhu yếu nghiên cứu và phân tích ra thừa số nguyên tố, đó là thuật toán Euclid. Ví dụ :

BCNN ⁡ ( 21, 6 ) = 21 ⋅ 6 UCLN ⁡ ( 21, 6 ) = 21 ⋅ 6 3 = 126 3 = 42. { \ displaystyle \ operatorname { BCNN } ( 21,6 ) = { 21 \ cdot 6 \ over \ operatorname { UCLN } ( 21,6 ) } = { 21 \ cdot 6 \ over 3 } = { 126 \ over 3 } = 42. }

Bởi GCD(a, b) là ước số của cả a và b, nên sẽ thuật lợi hơn nếu tính LCM bằng cách chia trước khi nhân:

BCNN ⁡ ( a, b ) = ( | a | UCLN ⁡ ( a, b ) ) ⋅ | b | = ( | b | UCLN ⁡ ( a, b ) ) ⋅ | a |. q n { \ displaystyle \ operatorname { BCNN } ( a, b ) = \ left ( { | a | \ over \ operatorname { UCLN } ( a, b ) } \ right ) \ cdot | b | = \ left ( { | b | \ over \ operatorname { UCLN } ( a, b ) } \ right ) \ cdot | a |. qn }

Điều này làm giảm kích cỡ nguồn vào, giảm bộ nhớ cho những giá trị trung gian

Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách nghiên cứu và phân tích ra thừa số nguyên tố.

Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 hoàn toàn có thể trình diễn một cách duy nhất dạng tích những số nguyên tố ( nếu không kể đến thứ tự của những thừa số ). Như vậy những hợp số hoàn toàn có thể coi như là những nguyên tố cấu thành hợp số. Ví dụ :

90 = 2 1 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 { \ displaystyle 90 = 2 ^ { 1 } \ cdot 3 ^ { 2 } \ cdot 5 ^ { 1 } = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 \, \ ! }

Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5.

Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm BCNN của một tập hợp các số.

Ví dụ : Tìm giá trị của BCNN ( 8,9,21 ) .Đầu tiên, ta nghiên cứu và phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa những số nguyên tố .

8 = 2 3 { \ displaystyle 8 \ ; \, \ ; \, = 2 ^ { 3 } }

9 = 3 2 { \ displaystyle 9 \ ; \, \ ; \, = 3 ^ { 2 } }

21 = 3 ⋅ 7 { \ displaystyle 21 \ ; \, = 3 \ cdot 7 }

Với mỗi số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị BCNN cần tìm. bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 23, 32, 50, và 71. Do đó ,

BCNN ⁡ ( 8, 9, 21 ) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 = 8 ⋅ 9 ⋅ 1 ⋅ 7 = 504. { \ displaystyle \ operatorname { BCNN } ( 8,9,21 ) = 2 ^ { 3 } \ cdot 3 ^ { 2 } \ cdot 5 ^ { 0 } \ cdot 7 ^ { 1 } = 8 \ cdot 9 \ cdot 1 \ cdot 7 = 504. \, \ ! }

Thuật toán không thực sự hiệu suất cao bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưa có thuật toán hiệu suất cao để phân tích số nguyên, nhưng nó hiệu suất cao trong việc minh họa khái niệm .

• Với ký hiệu BCNN ⁡ ( a ; b ) = [ a ; b ] { \ displaystyle \ operatorname { BCNN } ( a ; b ) = [ a ; b ] }UCLN ⁡ ( a ; b ) = ( a ; b ) { \ displaystyle \ operatorname { UCLN } ( a ; b ) = ( a ; b ) }
• Tính chất giao hoán: [ a, b ] = [ b, a ] { \ displaystyle [ a, b ] = [ b, a ] }
• Tính chất kết hợp: [ a, [ b, c ] ] = [ [ a, b ], c ] { \ displaystyle [ a, [ b, c ] ] = [ [ a, b ], c ] }
• Mối quan hệ với ước chung lớn nhất:

  [ a, b ] = a ⋅ b ( a, b ). { \ displaystyle [ a, b ] = { \ frac { a \ cdot b } { ( a, b ) } }. }

• Trong trường hợp a { \ displaystyle a }b { \ displaystyle b }nguyên tố cùng nhau, thì: [ a, b ] = a ⋅ b. { \ displaystyle [ a, b ] = a \ cdot b. }
• Tính LCM của nhiều số thông qua cách tính LCM của hai số:
  • [ a, b, c ] = [ [ a, b ], c ] ; { \ displaystyle [ a, b, c ] = [ [ a, b ], c ] ; }
  • [ a 1, a 2, …, a n ] = [ [ a 1, a 2, …, a n − 1 ], a n ]. { \ displaystyle [ a_ { 1 }, a_ { 2 }, \ ldots, a_ { n } ] = [ [ a_ { 1 }, a_ { 2 }, \ ldots, a_ { n-1 } ], a_ { n } ]. }
• Với

  k
  =
  [

  a

  1

  ,

  a

  2

  ,
  …
  ,

  a

  n

  ]

  {\displaystyle k=[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}

  Xem thêm: Cuộc sống vốn luôn chứa đựng những muộn phiền, cũng may còn có bầu trời luôn cho ta niềm tin!

  BC ⁡ ( a 1, a 2, …, a n ) = B ⁡ ( k ) { \ displaystyle \ operatorname { BC } ( a_ { 1 }, a_ { 2 }, \ ldots, a_ { n } ) = \ operatorname { B } ( k ) }

1. ^ Hardy và Wright, § 5.1, p. 48

Liên kết ngoài.

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn