Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

A. Phương pháp giải

– Để nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ta làm như sau :
+ B1 : Tính ∆ = b2 – 4 ac. Nếu ∆ < 0 thì không sống sót nghiệm của phương trình. Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:

– Nếu thông số a = 1 thì phương trình có dạng x2 + bx + c = 0 ( * ) ta nghiên cứu và phân tích thông số c thành tích của 2 số trước rồi phối hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn nhu cầu tổng bằng – b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có hiệu quả sau
x2 + ( u + v ) x + uv = 0 ⇒ x1 = – u, x2 = – v
x2 – ( u + v ) x + uv = 0 ⇒ x1 = u, x2 = v

– Nếu thông số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng ( * ) rồi nhẩm nghiệm

– Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:

– Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a. x2 – 11 x + 30 = 0
b. x2 – 12 x + 27 = 0
c. x2 + 16 x + 39 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có ∆ = 112 – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có:

Ta thấy 30 = 15.2 = ( – 15 ). ( – 2 ) = 10.3 = ( – 10 ). ( – 3 ) = 6.5 = ( – 6 ). ( – 5 ) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn nhu cầu ( * ) là 6 và 5
Suy ra các nghiệm của phương trình là : x1 = 5, x2 = 6
b. Phương trình đã cho có ∆ = 122 – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có

Ta thấy 27 = 9.3 = ( – 9 ). ( – 3 ) = 1.27 = ( – 1 ). ( – 27 ) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn nhu cầu ( * ) là 9 và 3
Suy ra các nghiệm của phương trình là : x1 = 3, x2 = 9
c. Phương trình đã cho có ∆ = 162 – 4.39 = 256 – 156 = 100 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Theo Vi-et ta có

Ta thấy 39 = 13.3 = ( – 13 ). ( – 3 ) = 1.39 = ( – 1 ). ( – 39 ) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng – 16 nên hai số thỏa mãn nhu cầu ( * ) là – 13 và – 3
Suy ra các nghiệm của phương trình là : x1 = – 13, x2 = – 3

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau

a. 2×2 + 3 x + 1 = 0
b. 3×2 – 2 x – 1 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có : a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

b. Phương trình đã cho có : a + b + c = 3 + ( – 2 ) + ( – 1 ) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

B. Bài tập

Câu 1: Số nghiệm của phương trình  7×2 – 9x + 2 = 0 là

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Giải

Phương trình đã cho có : a + b + c = 7 + ( – 9 ) + 2 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

Đáp án C

Câu 2: Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 1975×2 + 4x – 1979 = 0

Giải

Phương trình đã cho có : a + b + c = 1975 + 4 + ( – 1979 ) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

Đáp án A

Câu 3: Cho phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2), khẳng định nào sau đây đúng

A. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

B. Phương trình có 2 nghiệm x = – 1, x = m + 3 ∀ m ≠ 2
C. Phương trình có nghiệm kép ∀ m ≠ 2
D. Phương trình vô nghiệm ∀ m ≠ 2

Giải

Với m ≠ 2 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các thông số :
a = m – 2, b = – ( 2 m + 5 ), c = m + 7
Suy ra a + b + c = m – 2 – ( 2 m + 5 ) + m + 7 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm:

Đáp án A

Câu 4: Một nghiệm của phương trình mx2 + (3m – 1)x + 2m – 1 = 0 (m ≠ 0) là

Giải

Với m ≠ 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các thông số :
a = m, b = 3 m – 1, c = 2 m – 1
Suy ra a – b + c = m – 3 m + 1 + 2 m – 1 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm:

Đáp án C

Câu 5: Cho phương trình: (2m – 1)x2 + (m – 3)x – 6m – 2 = 0 ()

Biết rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm x = – 2, tìm nghiệm còn lại của phương trình theo m

Giải

Vì phương trình đã cho có nghiệm x = -2 nên  ∆ ≥ 0.

Nghĩa là phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 . Không làm mất tính tổng quát, giả sử x1 = -2

Áp dụng Vi-et ta có:

Đáp án B

Câu 6: Tìm m để phương trình  x2 + 3mx – 108 = 0 có một nghiệm bằng 6. Với giá trị m vừa tìm được tính nghiệm còn lại

A. m = 4 và x = – 18
B. m = 3 và x = – 16
C. m = 2 và x = – 15
D. m = 1 và x = – 19

Giải

Vì x = 6 là nghiệm của phương trình nên :

Với m = 4 phương trình trở thành : x2 + 12 x – 108 = 0. Theo Vi-et ta có :

Đáp án A

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0

A. Phương trình có nghiệm kép x = 2 ∀ m
B. Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = m + 1 ∀ m
C. Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = m + 2 ∀ m
D. Phương trình vô nghiệm

Giải

⇒ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Phương trình x2 – ( m + 4 ) x + 3 m + 3 = 0 ⇔ x2 – [ ( m + 1 ) + 3 ] x + 3 ( m + 1 ) = 0
⇒ phương trình có 2 nghiệm : x = 3, x = m + 1

Đáp án B

Câu 8: Biết rằng phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m

A. 2 mét vuông – 2 m – 1
B. 2 mét vuông + 2 m – 1
C. 2 mét vuông + 2 m + 1
D. 2 mét vuông – 2 m + 1

Giải

Phương trình x2 – ( 2 m + 1 ) x + mét vuông + m = 0 ⇔ x2 – [ m + ( m + 1 ) ] x + m ( m + 1 ) = 0
⇒ phương trình có 2 nghiệm x = m, x = m + 1
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là :
mét vuông + ( m + 1 ) 2 = mét vuông + mét vuông + 2 m + 1 = 2 mét vuông + 2 m + 1

Đáp án là C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 tinh lọc, có đáp án hay khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn