Một số thuật ngữSửa đổi

• Cung: một đoạn đóng bất kì trên đường tròn. Cung AB ký hiệu là

  A B { \ displaystyle { \ overset { \ frown } { AB } } }

• Dây cung (gọi tắt là dây): đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn.
• Tâm: điểm cách đều tất cả các điểm trên đường tròn.
• Chu vi hình tròn: độ dài đường biên giới hạn hình tròn.
• Bán kính: là đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.
• Đường kính: đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và là dây cung đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.
• Cát tuyến: đường thẳng trên mặt phẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.
• Tiếp tuyến: đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.
• Hình tròn: phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn.
• Hình khuyên (hình nhẫn hoặc hình vành khăn): vùng bị giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm và có bán kính khác nhau.
• Hình quạt tròn: phầnhình tròngiới hạn bởi haibán kínhvàcung trònbị chắn bởi hai bán kính này.
• Hình viên phân: phần bị giới hạn bởi cung tròn và dây căng cung.
• Hình bán nguyệt: cung căng đường kính. Thông thường, thuật ngữ này còn bao gồm đường kính, cung căng đường kính và phần bên trong, tức nửa hình tròn.
• Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Khi đó gọi là đa giác nội tiếp đường tròn
• Đường tròn nội tiếp đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Khi đó gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn

Sự xác định đường trònSửa đổi

Một đường tròn được xác lập khi biết tâm và bán kính của nó, hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của nó .Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta hoàn toàn có thể vẽ được một và chỉ một đường tròn .

Hình trònSửa đổi

Bài cụ thể : Hình tròn
Trong hình học phẳng, đường tròn và hình tròn trụ là hai khái niệm khác nhau. Hình tròn là tập hợp toàn bộ những điểm nằm trong và nằm trên đường tròn hay tập hợp những điểm cách tâm một khoảng chừng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Đường tròn không có diện tích quy hoạnh như hình tròn trụ .

Lịch sửSửa đổi

Chiếc com-pa trong bản thảo viết tay từ thế kỉ 13 là biểu tượng của Đấng tạo hóa. Đồng thời vòng hào quang cũng có dạng tròn.Chiếc com-pa trong bản thảo viết tay từ thế kỉ 13 là hình tượng của Đấng tạo hóa. Đồng thời vòng hào quang cũng có dạng tròn .Từcircle có nguồn gốc từ tiếng Hy Lap κίρκος / κύκλος ( kirkos / kuklos ), nghĩa là ” vòng ” hay ” nhẫn “. [ 1 ]
Một mảnh lụa Mông Cổ hình trònMột mảnh lụa Mông Cổ hình tròn trụ Đường tròn trong những bản vẽ thiên văn Ả Rập cổ.Đường tròn trong những bản vẽ thiên văn Ả Rập cổ .Đường tròn đã được biết đến từ trước khi lịch sử dân tộc ghi nhận được. Những hình tròn trụ trong tự nhiên hẳn đã được quan sát, ví dụ như Mặt Trăng, Mặt Trời … Đường tròn là nền tảng để tăng trưởng bánh xe, mà cùng với những ý tưởng tựa như như bánh răng, là thành phần quan trọng trong máy móc văn minh. Trong toán học, việc nghiên cứu và điều tra đường tròn đã dẫn đến sự tăng trưởng của hình học, thiên văn học và vi tích phân .Khoa học sơ khai, đặc biệt quan trọng là hình học, thiên văn học và chiêm tinh học, thường được nhiều học giả thời trung cổ liên kết với thánh thần, và nhiều người tin rằng có gì đó ” thiêng liêng ” và ” hoàn hảo nhất ” ở hình tròn trụ. [ 2 ] [ 3 ]Một số dấu mốc trong lịch sử dân tộc đường tròn :

• Năm 1700 trước Công nguyên Bản giấy cói Rhind đưa ra phương pháp để tính diện tích hình tròn. Kết quả tương đương với 256/81 (3.16049…) như một giá trị xấp xỉ của π.[4]
• Năm 300 trước Công nguyên Quyển 1, Quyển 3 của bộ sách Cơ sở của Euclid đưa ra định nghĩa và bàn về những tính chất của đường tròn.
• Trong Bức thư thứ bảy của Plato có một định nghĩa chi tiết và giải thích về đường tròn. Plato viết về một đường tròn hoàn hảo, và sự khác biệt của nó với bất kì hình vẽ, giải thích hay định nghĩa nào khác.
• Năm 1880 Lindemann chứng minh được π là số siêu việt, giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương hình tròn sau hơn một thiên niên kỷ.[5]

Tháp Tughrul nhìn từ bên trongTháp Tughrul nhìn từ bên trong

Đặc điểmSửa đổi

Độ dài đường tròn (chu vi hình tròn)Sửa đổi

Xem thêm : Chu vi hình tròn trụ

Tỉ số của độ dài đường tròn với đường kính của nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 3.141592654, vậy chu vi của hình tròn (còn được gọi là viên chu), là độ dài của đường tròn, bằng tích của pi với đường kính hoặc 2 lần pi nhân với bán kính. Công thức:

C = 2 π r = π d. { \ displaystyle C = 2 \ pi r = \ pi d. \, }

Diện tích bao kínSửa đổi

Bài chi tiết cụ thể : Diện tích hình tròn trụ
Trong bản luận Sự đo đạc của một hình tròn trụ của Archimedes, diện tích quy hoạnh hình tròn trụ A bằng diện tích quy hoạnh của tam giác có cạnh đáy bằng chu vi đường tròn và đường cao bằng bán kính hình tròn trụ, [ 6 ] tức A bằng π nhân cho bình phương bán kính :

A = π r 2. { \ displaystyle \ mathrm { A } = \ pi r ^ { 2 }. \, }

Tương tự, ký hiệu đường kính là d ,

A = π d 2 4 0. 7854 d 2, { \ displaystyle \ mathrm { A } = { \ frac { \ pi d ^ { 2 } } { 4 } } \ approx 0 {. } 7854 d ^ { 2 }, }

tức khoảng chừng 79 % diện tích quy hoạnh hình vuông vắn ngoại tiếp đường tròn ( với độ dài cạnh là d ). Đường tròn cũng là hình phẳng bao kín nhiều diện tích quy hoạnh nhất với chu vi cho trước .

Phương trìnhSửa đổi

Hệ tọa độ DescartesSửa đổi

Đường tròn có bán kính r=1, tâm (a, b) =(1.2,0.5)Đường tròn có bán kính r = 1, tâm ( a, b ) = ( 1.2,0. 5 )Trong hệ tọa độ Descartes, vòng tròn có tâm tại ( a, b ) và bán kính r là tập hợp toàn bộ những điểm ( x, y ) thỏa mãn nhu cầu :

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2. { \ displaystyle \ left ( x-a \ right ) ^ { 2 } + \ left ( y-b \ right ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }. }

Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, xuất phát từ Định lý Pytago vận dụng cho một điểm trên đường tròn : Như trong hình bên, bán kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông | x a | và | y b |. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ ( 0, 0 ), thì phương trình được thu gọn thành :

x 2 + y 2 = r 2. { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 }. \ ! \ }

Phương trình hoàn toàn có thể viết dưới dạng tham số sử dụng những hàm lượng giác sin và cosine như sau

x = a + r cos t, { \ displaystyle x = a + r \, \ cos t, \, }

y = b + r sin t { \ displaystyle y = b + r \, \ sin t \, }

với t là tham số trong khoảng chừng từ 0 đến 2 π, một cách hình học, t tương tự với góc tạo bởi tia đi qua ( a, b ), ( x, y ) và trục x dương .Một phương trình tham số khác của đường tròn là :

x = a + r 1 t 2 1 + t 2. { \ displaystyle x = a + r { \ frac { 1 – t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } }. \, }

y = b + r 2 t 1 + t 2 { \ displaystyle y = b + r { \ frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } \, }

Tuy nhiên ở sự tham số hóa này, t không riêng gì chạy qua toàn bộ số thực mà còn chạy tới vô hạn, nếu không thì điểm dưới cùng của đường tròn sẽ không được bộc lộ .Trong hệ tọa độ như nhau, mỗi đường conic với phương trình của đường tròn có dạng :

x 2 + y 2 2 a x z 2 b y z + c z 2 = 0. { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } – 2 axz – 2 byz + cz ^ { 2 } = 0. \, }

Hệ tọa độ cựcSửa đổi

Trong hệ tọa độ cực phương trình của một đường tròn là :

r 2 2 r r 0 cos ( θ ϕ ) + r 0 2 = a 2 { \ displaystyle r ^ { 2 } – 2 rr_ { 0 } \ cos ( \ theta – \ phi ) + r_ { 0 } ^ { 2 } = a ^ { 2 } \, }

với a là bán kính của đường tròn, ( r, θ ) { \ displaystyle ( r, \ theta ) } là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và ( r 0, ϕ ) { \ displaystyle ( r_ { 0 }, \ phi ) } là tọa độ cực của tâm đường tròn ( tức r0 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và φ góc ngược chiều kim đồng hồ đeo tay từ trục hoành đường thẳng đi qua tâm và gốc tọa độ ). Với đường tròn có tâm ở gốc tọa độ, tức r0 = 0, thì được đơn giản hóa còn r = a. Khi r0 = a, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành :

r = 2 a cos ( θ ϕ ). { \ displaystyle r = 2 a \ cos ( \ theta – \ phi ). \, }

Trong trường hợp tổng quát, ta hoàn toàn có thể giải phương trình cho r

r = r 0 cos ( θ ϕ ) ± a 2 r 0 2 sin 2 ( θ ϕ ), { \ displaystyle r = r_ { 0 } \ cos ( \ theta – \ phi ) \ pm { \ sqrt { a ^ { 2 } – r_ { 0 } ^ { 2 } \ sin ^ { 2 } ( \ theta – \ phi ) } }, }

Chú ý rằng nếu không có dấu ±, trong 1 số ít trường hợp phương trình chỉ diễn đạt nửa đường tròn .

Mặt phẳng phứcSửa đổi

Trong mặt phẳng phức, một đường tròn có tâm tại c và bán kính ( r ) có phương trình | z c | = r { \ displaystyle | z-c | = r \, }. Ở dạng tham số hóa : z = r e i t + c { \ displaystyle z = re ^ { it } + c } .Phương trình tổng quát p z z ¯ + g z + g z ¯ = q { \ displaystyle pz { \ overline { z } } + gz + { \ overline { gz } } = q } cho những số thực p, q và số phức g đôi lúc được gọi là đường tròn tổng quát. Phương trình này trở thành phương trình ở trên với p = 1, g = c ¯, q = r 2 | c | 2 { \ displaystyle p = 1, \ g = – { \ overline { c } }, \ q = r ^ { 2 } – | c | ^ { 2 } }, vì | z c | 2 = z z ¯ c ¯ z c z ¯ + c c ¯ { \ displaystyle | z-c | ^ { 2 } = z { \ overline { z } } – { \ overline { c } } z-c { \ overline { z } } + c { \ overline { c } } }. Không phải đường tròn tổng quát nào cũng là đường tròn thực sự : đường tròn tổng quát hoặc là đường tròn thực sự hoặc là một đường thẳng .

Đường tiếp tuyếnSửa đổi

Bài cụ thể : Đường tiếp tuyến của đường tròn
Đường tiếp tuyến qua một điểm P. trên đường tròn vuông góc đường kính đi qua P. Nếu P = ( x1, y1 ) và đường tròn có tâm ( a, b ) và bán kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua ( a, b ) và ( x1, y1 ), nên nó có dạng ( x1 a ) x + ( y1 b ) y = c. Tính với ( x1, y1 ) xác lập giá trị của c và tác dụng phương trình của đường tiếp tuyến là :

( x 1 a ) x + ( y 1 b ) y = ( x 1 a ) x 1 + ( y 1 b ) y 1 { \ displaystyle ( x_ { 1 } – a ) x + ( y_ { 1 } – b ) y = ( x_ { 1 } – a ) x_ { 1 } + ( y_ { 1 } – b ) y_ { 1 } \, }

hay

( x 1 a ) ( x a ) + ( y 1 b ) ( y b ) = r 2. { \ displaystyle ( x_ { 1 } – a ) ( x-a ) + ( y_ { 1 } – b ) ( y-b ) = r ^ { 2 }. \ ! \ }

Nếu y1 b thì độ dốc của đường thẳng là

d y d x = x 1 a y 1 b. { \ displaystyle { \ frac { dy } { dx } } = – { \ frac { x_ { 1 } – a } { y_ { 1 } – b } }. }

Kết quả này cũng hoàn toàn có thể được suy ra sử dụng đạo hàm hàm ẩn .Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì phương trình tiếp tuyến là x 1 x + y 1 y = r 2, { \ displaystyle x_ { 1 } x + y_ { 1 } y = r ^ { 2 }, \ ! \ } và độ dốc của nó là d y d x = x 1 y 1. { \ displaystyle { \ frac { dy } { dx } } = – { \ frac { x_ { 1 } } { y_ { 1 } } }. }

Tính chấtSửa đổi

Tính chất chungSửa đổi

• Đường tròn là hình có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước. (XemBất đẳng thức đẳng chu)
• Đường tròn có tính đối xứng cao: tâm của đường tròn là tâm đối xứng và các đường kính là các trục đối xứng
• Mọi đường tròn đều đồng dạng.
  • Chu vi đường tròn tỉ lệ thuận với bán kính theo hằng số 2π.
  • Diện tích hình tròn tỉ lệ thuận với bình phương bán kính theo hằng số π.
• Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính là 1 gọilà đường tròn đơn vị.
  • Đườngtròn lớn của hình cầu đơn vị làđường tròn Riemann.
• Tập hợp tất cả các điểm nhìn đoạn thẳng dưới 1 góc vuông là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó

Dây cungSửa đổi

• Dây cung cách đều tâm khi và chỉ khi chúng dài bằng nhau.
• Trong cùng một đường tròn, dây càng dài thì càng gần tâm.
• Đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung đó
• Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây.
• Đường kính là dây cung dài nhất trong đường tròn
• Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chiamột dây thành hai đoạn avà b, chia dây cung kia thànhcvà d, thìab=cd (gọi là phương tích của điểm đó).
• Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chiamột dây thành hai đoạn avà b, chia dây cung kia thànhmvà n, thì a2 + b2 + m2 + n2 = d2 (với d là đường kính).
• Tổng bình phương chiều dài 2 dây cung vuông góc tại một điểm cố định không đổi và bằng 8r2 4p2(với rlà bán kính đường tròn, p là khoảng cách từ tâm đường tròn đến giao điểm đó).
• Khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây cung nhân với đường kính bằng tích của khoảng cách điểm đó đến 2 đầu mút của dây cung.
• 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau căng 2 dây bằng nhau thì 2 cung đó bằng nhau và ngược lại
• Với 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau, cung nào căng dây lớn hơn(hoặc bé hơn) thì cung đó lớn hơn(hoặc bé hơn) và ngược lại.

Tiếp tuyếnSửa đổi

• Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn là một đường tiếp tuyến với đường tròn.
• Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì đi qua tâm.
• Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.
• Nếuhai tiếp tuyến tại AvàB với đường tròn tâm Ocắtnhau tại P thì

  • B O A ^ + B P A ^ = 180 { \ displaystyle { \ widehat { BOA } } + { \ widehat { BPA } } = 180 ^ { \ circ } }

    .

  • PA=PB
  • Tia OP là phân giác của góc

    B O A ^ { \ displaystyle { \ widehat { BOA } } }

    và tia PO là phân giác

    B P A ^ { \ displaystyle { \ widehat { BPA } } }

• NếuADtiếp xúc với đường tròn tạiAvàAQmột dây cung của đường tròn, thì

  D A Q ^ = A Q 2 { \ displaystyle { \ widehat { DAQ } } = { \ frac { \ overset { \ frown } { AQ } } { 2 } } }

  .

Định lýSửa đổi

Xem thêm : Phương tích của một điểm
Định lý hai cát tuyếnĐịnh lý hai cát tuyến

• Định lý dây cung phát biểu nếu hai dây cung,CDvàEB, cắt nhau tạiA thìAC.AD=AB.AE.
• Nếu hai cát tuyến,AEvàAD, cắt đường tròn lần lượt tạiBvàC thìAC.AD=AB.AE. (Hệ quả của định lý dây cung)
• Một tiếp tuyến có thể coi như một giới hạn của cát tuyến với đầu mút trùng nhau. Nếu tiếp tuyến từ điểmA nằm ngoài đường tròn cắt đường tròn tạiF và một cát tuyến từAcắt đường tròn lần lượt tạiCvàDthìAF2=AC.AD. (Định lý tiếp tuyến-cát tuyến)
• Góc nằm giữa một dây cung và tiếp tuyến tại một đầu dây cung bằng một nửa góc ở tâm bị chắn bởi dây cung đó (Tangent Chord Angle).
• Nếu góc ở tâm bị chắn bởi dây cung là góc vuông thì=r2, vớilà độ dài dây cung vàrlà bán kính đường tròn.
• Nếu hai cát tuyến cắt đường tròn như bên thì gócAbằng nửa hiệu hai cung tạo thành (DEvà BC), tức

  2 B A C ^ = D O E ^ B O C ^ { \ displaystyle 2 { \ widehat { BAC } } = { \ widehat { DOE } } – { \ widehat { BOC } } }

  ,vớiOlà tâm đường tròn. Đây là định lý 2 cát tuyến với đường tròn.

SagittaSửa đổi

Sagitta là đoạn thẳng xanh.

Sagitta là đoạn thẳng xanh.

• Sagitta (còn được biết là versine) là đoạn thẳng vuông góc với dây cung, đi qua trung điểm của dây cung và cung mà dây đó chắn.
• Cho độ dài y của dây và độ dài x sagitta, ta có thể dùng định lý Pytago để tính bán kính của đường tròn duy nhất vừa với 2 đoạn thẳng:

r = y 2 8 x + x 2. { \ displaystyle r = { \ frac { y ^ { 2 } } { 8 x } } + { \ frac { x } { 2 } }. }

Một chứng tỏ khác của hiệu quả này sử dụng đặc thù hai dây cung như sau : Cho dây cung có độ dài y và sagitta có độ dài x, vì sagitta đi qua trung điểm của dây cung, nó phải là một phần đường kính. Do đường kính dài gấp đôi bán kinh, phần ” bị thiếu ” của đường kính có độ dài ( 2 r x ). Do một phần của một dây cung này nhân phần kia không đổi khi dây quay quanh giao điểm, ta tìm được ( 2 r x ) x = ( y 2 ) 2 { \ displaystyle ( 2 r – x ) x = \ left ( { \ frac { y } { 2 } } \ right ) ^ { 2 } }. Giải tìm r, ta nhận được hiệu quả như trên .

Dựng hìnhSửa đổi

Có nhiều phép dựng hình bằng thước kẻ và compa cho ra đường tròn .Đơn giản và cơ bản nhất là phép dựng hình đã biết tâm đường tròn và một điểm nằm trên đường tròn. Đặt chân trụ của com-pa trên tâm, chân xoay lên điểm trên đường tròn và quay com-pa .

Dựng đường tròn với đường kính cho trướcSửa đổi

• Dựng trung điểm

  M

  của đường kính.

• Dựng đường tròn với tâm

  M

  đi qua một đầu mút của đường kính (nó cũng sẽ qua đầu mút còn lại).

Dựng đường tròn qua ba điểm A, B, C bằng cách tìm đường trung trực (đỏ) của các cạnh tam giác (xanh). Chỉ cần hai trong số ba đường trung trực là đủ để xác định tâm đường tròn.Dựng đường tròn qua ba điểm A, B, C bằng cách tìm đường trung trực ( đỏ ) của những cạnh tam giác ( xanh ). Chỉ cần hai trong số ba đường trung trực là đủ để xác lập tâm đường tròn .

Dựng đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàngSửa đổi

• Gọi ba điểm đó là

  P

  ,

  Q

  và

  R

  ,

• Dựng đường trung trực của đoạn

  PQ

  .

• Dựng đường trung trực của đoạn

  PR

  .

• Gọi giao điểm hai đường trung trực là

  M

  . (Chúng cắt nhau vì các điểm không thẳng hàng collinear).

• Dựng đường tròn tâm

  M

  đi qua một trong các điểm

  P

  ,

  Q

  hay

  R

  (nó cũng sẽ qua hai điểm còn lại).

Dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường trònSửa đổi

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn O tại 2 điểm, khi đó 2 điểm đó là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đi qua điểm A .

Đường tròn của ApolloniusSửa đổi

Bài cụ thể : Circles of Apollonius
Định nghĩa đường tròn của Apollonius: d1 / d2 constantĐịnh nghĩa đường tròn của Apollonius : constantApollonius của Pergaeus chỉ ra rằng đường tròn còn hoàn toàn có thể định nghĩa là tập hợp những điểm trên mặt phẳng có tỉ số không đổi ( khác 1 ) của khoảng cách tới hai tiêu điểm, A và B. [ 7 ] [ 8 ] ( Nếu tỉ số là 1 thì tập hợp ấy là đường trung trực của đoạn thẳng AB. )Chứng minh gồm hai phần. Đầu tiên ta cần chứng tỏ, cho hai tiêu điểm A và B một tỉ số, bất kể điểm P. thỏa mãn nhu cầu tỉ số phải nằm trên một đường tròn nhất định. Gọi C là một điểm thỏa mãn nhu cầu tỉ số và nằm trên đoạn thẳng AB. Từ định lý đường phân giác suy ra PC sẽ chia đôi góc trong APB :

A P B P = A C B C. { \ displaystyle { \ frac { AP } { BP } } = { \ frac { AC } { BC } }. }

Tương tự, đoạn thẳng PD qua điểm D trên đường thẳng AB chia đôi góc ngoài BPQ với Q. nằm trên tia AP lê dài. Do góc ngoài và góc trong bù nhau, góc CPD phải bằng 90 độ. Tập hợp những điểm P. sao cho góc CPD là góc vuông tạo thành một đường tròn với CD là đường kính .Thứ hai, xem [ 9 ] : tr. 15 để chứng tỏ rằng những điểm trên đường tròn vừa tạo thỏa mãn nhu cầu tỉ số .

Tỉ số képSửa đổi

Một đặc thù của đường tròn tương quan đến hình học của tỉ số kép của những điểm trên mặt phẳng phức. Nếu A, B, và C cho như trên thì đường tròn của Apollonius của ba điểm là tập hợp những điểm P. sao cho giá trị tuyệt đối của tỉ số kép bằng 1 :

| ( A, B ; C, P. ) | = 1. { \ displaystyle | ( A, B ; C, P. ) | = 1. \ }

Nói cách khác, P. là điểm trên đường tròn của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép ( A, B ; C, P. ) nằm trên đường tròn đơn vị chức năng trên mặt phẳng phức .

Đường tròn tổng quátSửa đổi

Xem thêm : Đường tròn tổng quát
Nếu C là trung điểm của đoạn AB thì tập hợp những điểm P. thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo Apollonius

| A P | | B P | = | A C | | B C | { \ displaystyle { \ frac { | AP | } { | BP | } } = { \ frac { | AC | } { | BC | } } }

không tạo thành một đường tròn mà thành một đường thẳng .Vậy nên nếu A, B, C là những điểm phân biệt trên mặt phẳng thì quỹ tích điểm P. thỏa mãn nhu cầu phương trình trên gọi là ” đường tròn tổng quát “. Nó hoàn toàn có thể là một đường tròn hoặc một đường thẳng. Trong trường hợp này, một đường thẳng là một đường tròn tổng quát có bán kính vô hạn .

Đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếpSửa đổi

Trong mỗi tam giác, một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn nội tiếp nếu nó tiếp xúc với ba cạnh tam giác. [ 10 ]Với mọi tam giác một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn ngoại tiếp, nếu nó đi qua ba đỉnh của tam giác. [ 11 ]Một đa giác ngoại tiếp là một đa giác lồi bất kể mà một đường tròn hoàn toàn có thể nội tiếp được và tiếp xúc với những cạnh của đa giác. [ 12 ] Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác ngoại tiếp .Một đa giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là một đa giác lồi bất kể mà một đường tròn hoàn toàn có thể bao quanh, đi qua tất những những đỉnh. Một trường hợp được điều tra và nghiên cứu kỹ càng là tứ giác nội tiếp. Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác nội tiếp. Một đa giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp được gọi là đa giác lưỡng tâm .Bất kỳ đa giác đều nào cũng đều có đúng 1 đường tròn ngoại tiếp và có đúng 1 đường tròn nội tiếpMột đường cong hypocycloid là đường cong nằm trong một đường tròn, vẽ bằng cách theo dấu một điểm cố định và thắt chặt trên một đường tròn nhỏ hơn lăn trong đường tròn đã cho và tiếp xúc với nó ..

Vị trí tương đốiSửa đổi

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường trònSửa đổi

Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Ta có bảng sau :

Vị trí tương đối giữa 2 đường trònSửa đổi

Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm I bán kính r. Ta có bảng sau :

Đường tròn dưới dạng đặc biệt của những hình khácSửa đổi

Đường tròn hoàn toàn có thể xem là một trường hợp số lượng giới hạn của 1 số ít hình khác :

• Một đường cong Decartes là tập hợp các điểm sao cho tổng trọng số của khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định (tiêu điểm) là một hằng số. Một elíp là trường hợp các trọng số bằng nhau. Một đường tròn là một elíp có độ lệch tâm bằng 0, nghĩa là hai tiêu điểm trùng nhau tạo thành tâm đường tròn. Một đường tròn cũng là một đường cong Descartes đặc biệt với một trọng số bằng 0.
• Một siêu elíp (hay đường cong Lamé) có phương trình dạng

  | x a | n + | y b | n = 1 { \ displaystyle \ left | { \ frac { x } { a } } \ right | ^ { n } \ ! + \ left | { \ frac { y } { b } } \ right | ^ { n } \ ! = 1 }

  với a, b, n dương. Một siêu đường tròn có b = a. Một đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu đường tròn với n = 2.

• Một đường oval Cassini là tập hợp các điểm sao cho tích khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định là một hằng số. Khi hai tiêu điểm trùng nhau, một đường tròn hình thành.
• Một đường cong có chiều rộng không đổi là một hình có chiều rộng, định nghĩa bằng giữa hai đường thẳng song song phân biệt tiếp xúc với hình đó, không thay đổi bất kể hướng của hai đường thẳng đó. Đường tròn là ví dụ đơn giản nhất cho đường cong này.

Góc với đường trònSửa đổi

Góc ở tâm và góc nội tiếpGóc ở tâm và góc nội tiếp

Góc ở tâm – số đo cungSửa đổi

2 cạnh của góc ở tâm cắt nhau tại 2 điểm, chia đường tròn thành 2 cung :

• Phần cung nằm bên trong góc

  α { \ displaystyle \ alpha }

  với

  0 < α < 180 { \ displaystyle 0 ^ { \ circ } < \ alpha < 180 ^ { \ circ } }

  được gọi là cung nhỏ. Số đo góc

  α { \ displaystyle \ alpha }

  được gọi là số đo của cung nhỏ. Phần cung nhỏ này được gọi là cung bị chắn của góc ở tâm.

• Phần còn lại được gọi là cung lớn. Số đo của cung này bằng

  360 α { \ displaystyle 360 ^ { \ circ } – \ alpha }

Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa đường tròn. Số đo của nửa đường tròn là 180 { \ displaystyle 180 ^ { \ circ } }Khi 2 đầu của cung trùng nhau, ta có cung không có số đo 0 { \ displaystyle 0 ^ { \ circ } } và cả đường tròn có số đo 360 { \ displaystyle 360 ^ { \ circ } }Trong cùng một đường tròn hoặc trong những đường tròn bằng nhau, 2 cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau .Cho điểm C nằm trên cung AB và chia cung AB thành 2 cung là cung AC và cung CB. Khi đó số đo của cung AB bằng tổng số đo cung AC và cung CB .

Góc nội tiếpSửa đổi

Xem thêm : Góc nội tiếp

• Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
• Góc nội tiếp là góc nhọn hoặc góc vuông thì bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và nằm cùng phía với dây căng cung đó thì bằng nhau.
• Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung nằm khác phía với dây căng cung đó thì bù nhau.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (định lý Thales).

Đường tròn tâm O trong hình có tiếp tuyến tại A là đường thẳng xy. Ta được 2 góc

x A B ^ { \ displaystyle { \ widehat { xAB } } }

chắn cung nhỏ AB và

y A B ^ { \ displaystyle { \ widehat { yAB } } }

chắn cung lớn ABĐường tròn tâm O trong hình có tiếp tuyến tại A là đường thẳng xy. Ta được 2 gócchắn cung nhỏ AB vàchắn cung lớn AB

Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cungSửa đổi

Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung là góc có 1 cạnh là dây của đường tròn, cạnh kia tạo bởi tia tiếp tuyến của đường tròn và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn .Số đo của góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng nửa số đo cung bị chắn .Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó

Tính chất của góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường trònSửa đổi

Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa tổng số đo 2 cung bị chắn .Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn trên đường tròn đó 2 cung thì số đo của góc đó bằng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn .

Cầu phương hình trònSửa đổi

Cầu phương hình tròn trụ là bài toán đưa ra bởi những nhà hình học cổ đại, nhu yếu dựng một hình vuông vắn có diện tích quy hoạnh bằng diện tích quy hoạnh một hình tròn trụ đã cho trong hữu hạn bước bằng thước thẳng và com-pa .Năm 1882, bài toán được chứng tỏ là không hề thực thi được, như một hệ quả của định lý LindemannWeierstrass chứng tỏ rằng pi ( π ) là 1 số ít siêu việt, chứ không phải là 1 số ít đại số vô tỉ ; nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức với thông số hữu tỉ .

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

1. ^ krikos, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
2. ^ Arthur Koestler, The Sleepwalkers : A History of Man’s Changing Vision of the Universe ( 1959 )
3. ^ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor ( 1816 ) Tập 2, Chương 2, ” Of Plato ”
4. ^ Chronology for 30000 BC to 500 BC. History. mcs.st-andrews.ac.uk. Truy cập 03-05-2013 .
5. ^ Squaring the circle. History. mcs.st-andrews.ac.uk. Trụy cập 03-05-2013 .
6. ^

   Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (ấn bản 2), Addison Wesley Longman, tr.108, ISBN978-0-321-01618-8

7. ^

   Harkness, James (1898). Introduction to the theory of analytic functions. London, New York: Macmillan and Co. tr.30. Bản gốc lưu trữ ngày 7 tháng 3 năm 2009 .

8. ^ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 1417 .
9. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007 .
10. ^

    Incircle from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-21 tại Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.

    Xem thêm: #99 STT Anh Em, Cap về tình anh em trong xã hội chất nhất – Babelgraph

11. ^ Circumcircle from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012 – 01-20 tại Wayback Machine. Mathworld. wolfram.com ( 2012 – 04-26 ). Truy cập 2012 – 05-03 .
12. ^ Tangential Polygon from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2013 – 09-03 tại Wayback Machine. Mathworld. wolfram.com ( 2012 – 04-26 ). Truy cập 2012 – 05-03 .

Liên kết ngoàiSửa đổi

Video liên quan