Đây là bài viết nói chung về khái niệm giới hạn trong Toán học. Với các ứng dụng cụ thể, hãy xem các trang giới hạn dãy số và giới hạn hàm số.

Trong toán học, khái niệm “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái niệm quan trọng của Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân.

Khái niệm giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và liên hệ ngặt nghèo với những khái niệm giới hạn và giới hạn trực tiếp trong kim chỉ nan phạm trù .

Người ta ký hiệu giới hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (an) ta viết lim(an) = a hoặc an → a.

Giới hạn của hàm số.

Bài chính: Giới hạn hàm số

x nằm trong khoảng (c – δ, c + δ) thì f(x) nằm trong khoảng ε (L – ε, L + ε)Khinằm trong khoảng chừng ( – δ, + δ ) thì ) nằm trong khoảng chừng ε ( – ε, + ε ) x > S, f(x) nằm trong khoảng ε (L – ε, L + ε)Với mọi ) nằm trong khoảng chừng ε ( – ε, + ε )

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực và c là một số thực. Biểu thức

lim x → c f ( x ) = L { \ displaystyle \ lim _ { x \ to c } f ( x ) = L }

có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c. Trong trường hợp này, ta nói giới hạn của f(x), khi x đạt đến c là L. Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cả khi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số

f ( x ) = x 2 − 1 x − 1 { \ displaystyle f ( x ) = { \ frac { x ^ { 2 } – 1 } { x-1 } } }

thì f(1) không xác định nhưng khi x tiến tới 1 thì f(x) tiến tới 2:

Như vậy, f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1.

Karl Weierstrass đã hình thức hóa định nghĩa giới hạn hàm số bằng giải pháp ( ε, δ ) vào thế kỉ 19 .

Ngoài trường hợp hàm số f(x) có giới hạn tại một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn có thể có giới hạn tại vô cực. Ví dụ, xét hàm số

f ( x ) = 2 x − 1 x { \ displaystyle f ( x ) = { 2 x – 1 \ over x } }

• f(100) = 1,9900
• f(1000) = 1,9990
• f(10000) = 1,9999

Khi x trở nên vô cùng lớn thì giá trị của f(x) tiến dần đến 2, và giá trị của f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ lớn. Ta nói “giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực bằng 2″ và viết

lim x → ∞ f ( x ) = 2. { \ displaystyle \ lim _ { x \ to \ infty } f ( x ) = 2. }

Giới hạn của dãy số.

Bài chính: Giới hạn dãy số

Xét dãy số sau : 1,79, 1,799, 1,7999, … Ta hoàn toàn có thể nhận thấy rằng dãy số này ” tiến dần ” đến 1,8, đó là giới hạn của dãy .

Một cách hình thức, giả sử x1, x2,… là một dãy các số thực. Ta gọi số thực L là giới hạn của dãy và viết:

lim n → ∞ x n = L { \ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty } x_ { n } = L }

nếu

Với mọi số thực ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0, |xn − L| < ε.

Về mặt trực giác, điều này có nghĩa là tất cả những số hạng sau một số hạng nào đó của dãy đều sẽ gần với giới hạn “L” một cách tùy ý, bởi vì giá trị tuyệt đối |xn − L| là khoảng cách giữa xn và L. Không phải dãy số nào cũng có giới hạn; nếu một dãy có giới hạn thì ta gọi dãy đó là hội tụ, còn ngược lại, ta nói dãy đó phân kì. Người ta đã chứng minh được rằng một dãy số hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.

Giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số có mối quan hệ mật thiết. Một mặt, giới hạn của dãy số thực chất là giới hạn của một hàm số có biến số là số tự nhiên. Mặt khác, giới hạn của một hàm số f tại x, nếu tồn tại, chính là giới hạn của dãy số xn = f(x + 1/n).

• Dạng 0 0 { \ displaystyle { \ frac { 0 } { 0 } } }

Ví dụ 1 :

lim x → 4 f ( x ) = x 2 − 16 x − 4 { \ displaystyle \ lim _ { x \ to 4 } f ( x ) = { \ frac { x ^ { 2 } – 16 } { x-4 } } }

Bước 1 : Ta thế 4 vào phương trình f ( x ) thì sẽ được dạng 0 0 { \ displaystyle { \ frac { 0 } { 0 } } } nên chứng minh và khẳng định đây là dạng 0 0 { \ displaystyle { \ frac { 0 } { 0 } } } .Bước 2 : Biến đổi :

lim x → 4 f ( x ) = x 2 − 16 x − 4 { \ displaystyle \ lim _ { x \ to 4 } f ( x ) = { \ frac { x ^ { 2 } – 16 } { x-4 } } }

<=>

lim

x
→
4

f
(
x
)
=

(
x
−
4
)
(
x
+
4
)

x
−
4

{\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)={\frac {(x-4)(x+4)}{x-4}}}

<=>

lim

x
→
4

f
(
x
)
=
x
+
4

{\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)=x+4}

Lúc này ta sẽ thế 4 vào sẽ được

lim

x
→
4

f
(
x
)
=
8

{\displaystyle \lim _{x\to 4}f(x)=8}

Ví dụ 2 :

lim x → 0 9 + 5 x + 4 x 2 − 3 x { \ displaystyle \ lim _ { x \ to 0 } { \ frac { { \ sqrt { 9 + 5 x + 4 x ^ { 2 } } } – 3 } { x } } }

Lúc này ta đổi khác nó bằng cách nhân lượng phối hợp cho cả tử và mẫu :

lim x → 0 9 + 5 x + 4 x 2 − 3 x { \ displaystyle \ lim _ { x \ to 0 } { \ frac { { \ sqrt { 9 + 5 x + 4 x ^ { 2 } } } – 3 } { x } } }

=

lim

x
→
0

(

9
+
5
x
+
4

x

2

−
3
)
(

9
+
5
x
+
4

x

2

+
3
)

x
(

9
+
5
x
+
4

x

2

+
3
)

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}-3)({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}{x({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}}

=

lim

x
→
0

9
+
5
x
+
4

x

2

−
9

x
(

9
+
5
x
+
4

x

2

+
3
)

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {9+5x+4x^{2}-9}{x({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}}

=

lim

x
→
0

5
x
+
4

x

2

x
(

9
+
5
x
+
4

x

2

+
3
)

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {5x+4x^{2}}{x({\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}}

Ta chia cả tử và mẫu cho x, ta được:

lim

x
→
0

5
+
4
x

9
+
5
x
+
4

x

2

+
3

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {5+4x}{{\sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3}}}

Thế 0 vào ta được

5
6

{\displaystyle {\frac {5}{6}}}

• Dạng ∞ ∞ { \ displaystyle { \ frac { \ infty } { \ infty } } }

Ví dụ 1 : Dạng đã biến hóa

lim x → + ∞ 4 x 2 − x − 1 3 + 2 x 2 { \ displaystyle \ lim _ { x \ to + \ infty } { \ frac { 4 x ^ { 2 } – x-1 } { 3 + 2 x ^ { 2 } } } }

Lúc này ta thấy số mũ lớn nhất của tử và mẫu là x2, vì vậy ta sẽ chia cả tử và mẫu cho x2

lim x → + ∞ 4 x 2 − x − 1 3 + 2 x 2 { \ displaystyle \ lim _ { x \ to + \ infty } { \ frac { 4 x ^ { 2 } – x-1 } { 3 + 2 x ^ { 2 } } } }

=

lim

x
→
+
∞

4
−

1
x

−

1

x

2

3

x

2

+
2

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {4-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}}{{\frac {3}{x^{2}}}+2}}}

= 2

Ví dụ 2 : Dạng chưa biến hóa

lim x → + ∞ ( x 2 − 2 x + 1 ) { \ displaystyle \ lim _ { x \ to + \ infty } ( x ^ { 2 } – { \ frac { 2 } { x + 1 } } ) }

=

lim

x
→
+
∞

x

3

+

x

2

−
2

x
+
1

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}+x^{2}-2}{x+1}}}

=

lim

x
→
+
∞

1
+

1
x

−

2

x

3

1

x

2

+

1

x

3

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1+{\frac {1}{x}}-{\frac {2}{x^{3}}}}{{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{x^{3}}}}}}

=

+
∞

{\displaystyle +\infty }

Lưu ý: Dạng

∞
∞

{\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}

không phải chỉ áp dụng với dạng phân thức mà kể cả đa thức. VD:

lim

x
→
+
∞

(
−

x

2

+
n

n

+
1
)

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(-x^{2}+n{\sqrt {n}}+1)}

• Dạng ∞ − ∞ { \ displaystyle \ infty – \ infty }

Ví dụ :

lim x → + ∞ ( n 2 + n − n 2 − 1 ) { \ displaystyle \ lim _ { x \ to + \ infty } ( { \ sqrt { n ^ { 2 } + n } } – { \ sqrt { n ^ { 2 } – 1 } } ) }

=

lim

x
→
+
∞

(

n

2

+
n

−

n

2

−
1

)
(

n

2

+
n

+

n

2

−
1

)

n

2

+
n

+

n

2

−
1

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {({\sqrt {n^{2}+n}}-{\sqrt {n^{2}-1}})({\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-1}})}{{\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-1}}}}}

=

lim

x
→
+
∞

n
+
1

n

2

+
n

+

n

2

−
1

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {n+1}{{\sqrt {n^{2}+n}}+{\sqrt {n^{2}-1}}}}}

=

lim

x
→
+
∞

n
(
1
+

1
n

)

n

1
+

1
n

+
n

1
−

1

n

2

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {n(1+{\frac {1}{n}})}{n{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}+n{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}}}}}}

=

lim

x
→
+
∞

1
+

1
n

1
+

1
n

+

1
−

1

n

2

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}}}}}}

=

1
2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

• Dạng 0.∞ { \ displaystyle \ infty }∞ ∞ { \ displaystyle { \ frac { \ infty } { \ infty } } }0 0 { \ displaystyle { \ frac { 0 } { 0 } } }

Ví dụ :

lim

x
→

3

+

(
x
−
3
)

x

x

2

−
9

{\displaystyle \lim _{x\to 3^{+}}(x-3){\sqrt {\frac {x}{x^{2}-9}}}}

Xem thêm: Ý nghĩa các con số từ 00 đến 99 trong kết quả xổ số

=

lim

x
→

3

+

(
x
−
3
)

x

x
+
3

x
−
3

{\displaystyle \lim _{x\to 3^{+}}(x-3){\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x+3}}{\sqrt {x-3}}}}}

=

lim

x
→

3

+

x
−
3

x

x
+
3

{\displaystyle \lim _{x\to 3^{+}}{\frac {{\sqrt {x-3}}{\sqrt {x}}}{\sqrt {x+3}}}}

= 0

Khả năng thống kê giám sát.

Các giới hạn hoàn toàn có thể khó thống kê giám sát. Có 1 số ít biểu thức giới hạn mà mô-đun quy tụ của nó là thứ không hề quyết định hành động được. Trong lí thuyết đệ quy, bổ đề giới hạn chứng tỏ rằng trọn vẹn hoàn toàn có thể biên mã những yếu tố không quyết định hành động được bằng cách sử dụng những giới hạn. [ 1 ]

1. ^

   Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.

Liên kết ngoài.

Source: http://139.180.218.5
Category: Thuật ngữ đời thường