Trong vật lý và các ngành khoa học khác, một hệ thống phi tuyến, trái ngược với một hệ thống tuyến tính, là một hệ thống mà không thỏa mãn nguyên tắc xếp chồng – nghĩa là đầu ra của một hệ thống phi tuyến bằng với đầu vào.

Trong toán học, một hệ phương trình phi tuyến là một tập hợp các phương trình đồng thời trong đó các ẩn số (hoặc các hàm chưa biết trong trường hợp của phương trình vi phân) xuất hiện như là các biến của một đa thức bậc cao hơn một hoặc trong các đối số của một hàm không phải là một đa thức bậc một. Nói cách khác, trong một hệ phương trình phi tuyến, phương trình được giải không thể được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các biến hoặc hàm chưa biết xuất hiện trong chúng. Không cần bận tâm nếu các hàm phi tuyến đã biết xuất hiện trong các phương trình. Đặc biệt, một phương trình vi phân là tuyến tính nếu nó là tuyến tính trong điều kiện hàm chưa biết và các đạo hàm của nó, ngay cả khi phi tuyến trong điều kiện của các biến số khác xuất hiện trong đó.

Thông thường, hành vi của một hệ thống phi tuyến được mô tả bởi một hệ phương trình phi tuyến.

Các bài toán phi tuyến là mối quan tâm của các kỹ sư, nhà vật lý và nhà toán học và nhiều nhà khoa học khác bởi vì hầu hết các hệ thống vốn đã là phi tuyến. Vì phương trình phi tuyến rất khó để giải, các hệ thống phi tuyến thường được xấp xỉ bởi phương trình tuyến tính (tuyến tính hóa). Điều này hoạt động tốt đến một độ chính xác và một số phạm vi cho các giá trị đầu vào nhất định, nhưng một số hiện tượng thú vị như hỗn loạn[1] và kỳ dị bị dấu đi bởi sự tuyến tính hóa. Nó theo sau một số khía cạnh của hành vi của một hệ thống phi tuyến xuất hiện thường là hỗn loạn, không thể đoán trước hoặc trái ngược với suy đoán thông thường. Mặc dù hành vi hỗn loạn như vậy có thể giống với hành vi ngẫu nhiên, nó là hoàn toàn không phải ngẫu nhiên.

Ví dụ, 1 số ít góc nhìn của thời tiết được xem là hỗn loạn, trong đó những đổi khác đơn thuần trong một phần của mạng lưới hệ thống sẽ tạo ra những hiệu ứng phức tạp trong đó. Sự phi tuyến này là một trong những nguyên do tại sao dự báo dài hạn một cách đúng chuẩn là không hề với công nghệ tiên tiến lúc bấy giờ .

Trong toán học, một hàm tuyến tính (hoặc ánh xạ) 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 là một trường hợp thỏa mãn cả hai thuộc tính sau đây:

• Tính cộng hoặc tính xếp chồng: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ; { \ displaystyle \ textstyle f ( x + y ) \ = f ( x ) \ + f ( y ) ; }
• Tính đồng nhất: f ( α x ) = α f ( x ). { \ displaystyle \ textstyle f ( \ alpha x ) \ = \ alpha f ( x ). }

Tính cộng bao hàm tính giống hệt cho bất kể số hữu tỉ α nào, và, so với những hàm liên tục, so với bất kể số thực α nào. Đối với một số phức α, tính như nhau không tuân theo tính cộng. Ví dụ, một ánh xạ phản tuyến tính là có tính cộng nhưng không như nhau. Các điều kiện kèm theo của tính cộng và tính giống hệt thường được phối hợp trong nguyên tắc xếp chồngMột phương trình được viết dưới dạng : f ( x ) = C

được gọi là tuyến tính nếu 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 là một ánh xạ tuyến tính (như định nghĩa ở trên) và ngược lại được gọi là phi tuyến. Phương trình này được gọi là đồng nhất nếu 

C
=
0

{\displaystyle C=0}

.

Định nghĩa 

f
(
x
)
=
C

{\displaystyle f(x)=C}

 là rất tổng quát với 

x

{\displaystyle x}

 có thể là bất kỳ đối tượng toán học hợp lý nào (số, vector, hàm,…) và hàm 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 nghĩa là có thể là bất kỳ ánh xạ nào, bao gồm tích phân hoặc vi phân với những giới hạn liên quan (như các giá trị ranh giới). Nếu 

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 có chứa đạo hàm theo

x

{\displaystyle x}

, kết quả sẽ là một phương trình vi phân.

Phương trình đại số phi tuyến.

Phương trình đại số phi tuyến, được xác lập bằng cách cân đối đa thức với không. Ví dụ :Đối với một phương trình đại số đơn thức, thuật toán tìm nghiệm hoàn toàn có thể được sử dụng để tìm giải thuật cho phương trình ( ví dụ, bộ giá trị cho những biến thỏa mãn nhu cầu phương trình ). Tuy nhiên, những hệ phương trình đại số thì phức tạp hơn ; Nghiên cứu chúng là một trong những động lực cho những nghành nghề dịch vụ hình học đại số, một nhánh khó của toán học văn minh. Nó thậm chí còn còn khó để quyết định liệu một hệ đại số cho trước có giải thuật phức tạp hay không ( xem Nullstellensatz của Hilbert ). Tuy nhiên, trong trường hợp của những mạng lưới hệ thống với 1 số ít hữu hạn những giải thuật phức tạp, những hệ phương trình đa thức giờ đây cũng được hiểu và đã có chiêu thức hiệu suất cao để giải chúng. [ 2 ]

Quan hệ hồi quy phi tuyến.

Một quan hệ hồi quy phi tuyến xác lập những điều kiện kèm theo đi sau của một dãy như là một hàm phi tuyến của những điều kiện kèm theo đi trước. Ví dụ về những quan hệ hồi quy phi tuyến là ánh xạ logistic và những quan hệ mà xác lập những trình tự Hofstadter khác nhau. Các quy mô rời rạc phi tuyến mà đại diện thay mặt cho một lớp rộng những quan hệ hồi quy phi tuyến gồm có quy mô NARMAX ( Nonlinear Autoregressive Moving Average with eXogenous inputs-tự hồi quy phi tuyến di dời đến trung bình với những nguồn vào ngoại sinh ) và những thủ tục xác lập và nghiên cứu và phân tích mạng lưới hệ thống phi tuyến tương quan. [ 3 ] Những cách tiếp cận hoàn toàn có thể được sử dụng để nghiên cứu và điều tra một lớp rộng những hành vi phi tuyến phức tạp trong thời hạn, tần số, và những miền không-thời gian .

Các phương trình vi phân phi tuyến.

Một hệ phương trình vi phân được cho là phi tuyến nếu nó không phải là một hệ tuyến tính. Các bài toán tương quan đến phương trình vi phân phi tuyến là vô cùng phong phú và chiêu thức giải hay nghiên cứu và phân tích là tùy thuộc vào bài toán. Ví dụ về phương trình vi phân phi tuyến là những phương trình Navier-Stokes trong động lực học chất lỏng và những phương trình Lotka-Volterra trong sinh học .Một trong những khó khăn vất vả lớn nhất của những bài toán phi tuyến là nó không phải là dạng hoàn toàn có thể vận dụng những giải thuật đã biết vào những giải thuật mới. Trong những bài toán tuyến tính, ví dụ, một họ những lời giải độc lập tuyến tính hoàn toàn có thể được sử dụng để kiến thiết xây dựng những giải thuật tổng quát trải qua nguyên tắc xếp chồng. Một ví dụ nổi bật của việc này là truyền nhiệt với điều kiện kèm theo biên Dirichlet, giải thuật trong đó hoàn toàn có thể được viết như thể một sự phối hợp tuyến tính nhờ vào thời hạn theo hình sin của những tần số khác nhau ; điều này làm cho những giải thuật rất linh động. Thường ta hoàn toàn có thể tìm thấy nhiều lời giải rất đơn cử so với những phương trình phi tuyến, tuy nhiên việc thiếu một nguyên tắc xếp chồng ngăn cản việc thiết kế xây dựng những giải thuật mới .

Các phương trình vi phân thường thì.

Các phương trình vi phân thường bậc một thường có thể giải chính xác bằng cách tách biến, đặc biệt là cho các phương trình  độc lập. Ví dụ, phương trình phi tuyến

có 

u
=

1

x
+
C

{\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}

 là lời giải tổng quát (và cũng có u = 0 là một lời giải riêng, tùy theo giới hạn của lời giải tổng quát khi C tiến tới vô cùng). Phương trình này sẽ không tuyến tính bởi vì nó có thể viết dưới dạng

và phía tay trái của phương trình trên không phải là một hàm tuyến tính của u và các đạo hàm của nó. Chú ý là nếu u2 được thay bởi u, bài toán sẽ trở thành tuyến tính (bài toán phân rã dạng hàm mũ).

Các phương trình vi phân thường bậc hai hoặc cao hơn ( tổng quát hơn, những hệ phương trình phi tuyến ) hiếm khi có được những lời giải dạng đóng, mặc dầu những giải thuật tiềm ẩn và những giải thuật gồm có tích phân không cơ bản đã được phát hiện .Các chiêu thức phổ cập để nghiên cứu và phân tích định lượng của những phương trình vi phân thường phi tuyến gồm có :

Các phương trình vi phân từng phần.

Phương pháp cơ bản phổ cập nhất để điều tra và nghiên cứu phương trình vi phân từng phần phi tuyến là biến hóa những biến ( hoặc nếu không thì đổi khác bài toán ) thành bài toán mới đơn thuần hơn ( thậm chí còn hoàn toàn có thể tuyến tính ). Đôi khi, phương trình này hoàn toàn có thể được quy đổi thành một hoặc nhiều hơn những phương trình vi phân thường, như giải pháp tách biến, chiêu thức này luôn hữu dụng mặc kệ phương trình vi phân thường mới có giải được hay không .Một giải pháp thường thì ( mặc dầu ít mang tính toán học ), thường thấy trong cơ lưu chất và nhiệt, là sử dụng nghiên cứu và phân tích bậc thang để đơn giản hóa một phương trình tổng quát, trong một bài toán giá trị biên nhất định. Ví dụ, những phương trình Navier-Stokes ( rất ) phi tuyến hoàn toàn có thể được đơn giản hóa thành một phương trình vi phân tuyến tính từng phần trong những trường hợp quá độ, phân lớp, dòng chảy một chiều trong một ống tròn ; nghiên cứu và phân tích bậc thang phân phối những điều kiện kèm theo dưới dòng chảy là phân lớp và một chiều và cũng mang lại những phương trình đơn giản hóa .Các giải pháp khác gồm có kiểm tra những đặc tính và cách sử dụng những giải pháp nêu trên cho phương trình vi phân thường .

Dao động quả lắc.

Minh họa một con lắc ly tâmMột bài toán phi tuyến cổ xưa, được điều tra và nghiên cứu thoáng đãng là động năng của một con lắc dưới tác động ảnh hưởng của lực mê hoặc. Sử dụng cơ học Lagrange, hoàn toàn có thể diễn đạt [ 4 ] hoạt động của con lắc bằng phương trình phi tuyến như sau

trong đó hướng trọng lực “đi xuống” và 

θ

{\displaystyle \theta }

là góc của quả lắc với vị trí còn lại của nó, như thể hiện trong hình bên phải. Một hướng giải phương trình này là sử dụng 

d
θ

/

d
t

{\displaystyle d\theta /dt}

 là một hệ số tích phân,cuối cùng ta có

đó là một lời giải tiềm ẩn bao gồm cả một tích phân elliptic. “Lời giải” này thường không có nhiều công dụng vì hầu hết các tính chất của lời giải được ẩn trong tích phân không cơ bản (không cơ bản ngay cả khi 

C

0

=
0

{\displaystyle C_{0}=0}

).

Một cách khác để tiếp cận vấn đề là tuyến tính hóa bất kỳ đường phi tuyến nào (thuật ngữ hàm sin trong trường hợp này) tại các điểm quan tâm khác nhau thông qua triển khai Taylor. Ví dụ, tuyến tính hóa tại 

θ
=
0

{\displaystyle \theta =0}

, được gọi là xấp xỉ góc nhỏ, là

do 

sin
⁡
(
θ
)
≈
θ

{\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }

 đối với 

θ
≈
0

{\displaystyle \theta \approx 0}

. Đây là một dao động điều hòa đơn giản tương ứng với dao động của con lắc gần cuối đáy của quỹ đạo của nó. Một tuyến tính khác là ở 

θ
=
π

{\displaystyle \theta =\pi }

, tương ứng với con lắc thẳng lên:

do 

sin
⁡
(
θ
)
≈
π
−
θ

{\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }

 đối với 

θ
≈
π

{\displaystyle \theta \approx \pi }

. Cách giải này bao gồm hàm hyperbolic, và lưu ý là không giống với xấp xỉ góc nhỏ, xấp xỉ này là không ổn định, nghĩa là 

|

θ

|

{\displaystyle |\theta |}

 sẽ thường tăng mà không có giới hạn, mặc dù các giải pháp chặn là có thể. Điều này tương ứng với sự khó khăn của việc cân bằng một con lắc thẳng đứng, nghĩa là một trạng thái không ổn định.

Một tuyến tính hóa thú vị hơn là có thể xung quanh

θ
=
π

/

2

{\displaystyle \theta =\pi /2}

, xung quanh điểm 

sin
⁡
(
θ
)
≈
1

{\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}

:

Điều này tương ứng với bài toán rơi tự do. Một hình ảnh chất lượng rất hữu dụng của động lực học của con lắc ly tâm hoàn toàn có thể thu được bằng cách ghép những tuyến tính hóa như vậy với nhau, như đã thấy trong hình ở bên phải. Các kỹ thuật khác hoàn toàn có thể được sử dụng để tìm ( đúng chuẩn ) miêu tả pha và xê dịch thời hạn .

Các dạng của hành vi phi tuyến.

• Hỗn độn cổ điển – hành vi của một hệ thống không thể tiên đoán được.
• Đa ổn định – xen kẽ giữa hai hoặc nhiều trạng thái riêng biệt.
• Dao động không tuần hoàn – các hàm không lặp lại các giá trị sau một thời gian (hay còn gọi là dao động hỗn loạn hoặc hỗn độn).
• Biên độ chết – bất kỳ dao động thể hiện trong hệ thống dừng do một số loại tương tác với hệ thống hoặc phản hồi khác bởi cùng một hệ thống.
• Soliton – sóng đơn tự duy trì

Các ví dụ về phương trình phi tuyến.

Xem thêm list những phương trình vi phân phi tuyến từng phần

Phần mềm để giải những mạng lưới hệ thống phi tuyến.

• interalg – Chương trình giải hệ phương trình phi tuyến dựa trên nền tảng OpenOpt / FuncDesigner để tìm kiếm hoặc bất kỳ hoặc tất cả các lời giải cho hệ phương trình đại số phi tuyến
• A collection of non-linear models and demo applets Lưu trữ 2008-03-05 tại Wayback Machine (tại Phòng thí nghiệm Ảo của Đại học Monash)
• FyDiK – Phần mềm này dùng để mô phổng các hệ thống động học phi tuyến

Liên kết ngoài.

Source: http://139.180.218.5
Category: Thuật ngữ đời thường