Ma trận hiệp phương sai của tập hợp m biến ngẫu nhiên là một ma trận vuông hạng (m × m), trong đó các phần tử nằm trên đường chéo (từ trái sang phải, từ trên xuống dưới) lần lượt là phương sai tương ứng của các biến này (ta chú ý rằng Var(X) = Cov(X,X)), trong khi các phần tử còn lại (không nằm trên đường chéo) là các hiệp phương sai của đôi một hai biến ngẫu nhiên khác nhau trong tập hợp..

Ký hiệu X là một vector cột, Xi là những thành phần của vector này .

X = [ X 1 ⋮ X n ] { \ displaystyle \ mathbf { X } = { \ begin { bmatrix } X_ { 1 } \ \ \ vdots \ \ X_ { n } \ end { bmatrix } } }

Nếu các thành phần của vector cột là các biến ngẫu nhiên có phương sai xác định (không quá lớn tới vô cực), thì ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) Σ là một ma trận mà có thành phần (i, j) là hiệp phương sai (covariance):

Σ i j = c o v ( X i, X j ) = E [ ( X i − μ i ) ( X j − μ j ) ] { \ displaystyle \ Sigma _ { ij } = \ mathrm { cov } ( X_ { i }, X_ { j } ) = \ mathrm { E } { \ begin { bmatrix } ( X_ { i } – \ mu _ { i } ) ( X_ { j } – \ mu _ { j } ) \ end { bmatrix } } }

trong đó

μ i = E ( X i ) { \ displaystyle \ mu _ { i } = \ mathrm { E } ( X_ { i } ) \, }

là giá trị kỳ vọng của thành phần thứ i của vector X. Nói cách khác, chúng ta có:

Σ = [ E [ ( X 1 − μ 1 ) ( X 1 − μ 1 ) ] E [ ( X 1 − μ 1 ) ( X 2 − μ 2 ) ] ⋯ E [ ( X 1 − μ 1 ) ( X n − μ n ) ] E [ ( X 2 − μ 2 ) ( X 1 − μ 1 ) ] E [ ( X 2 − μ 2 ) ( X 2 − μ 2 ) ] ⋯ E [ ( X 2 − μ 2 ) ( X n − μ n ) ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( X n − μ n ) ( X 1 − μ 1 ) ] E [ ( X n − μ n ) ( X 2 − μ 2 ) ] ⋯ E [ ( X n − μ n ) ( X n − μ n ) ] ]. { \ displaystyle \ Sigma = { \ begin { bmatrix } \ mathrm { E } [ ( X_ { 1 } – \ mu _ { 1 } ) ( X_ { 1 } – \ mu _ { 1 } ) ] và \ mathrm { E } [ ( X_ { 1 } – \ mu _ { 1 } ) ( X_ { 2 } – \ mu _ { 2 } ) ] và \ cdots và \ mathrm { E } [ ( X_ { 1 } – \ mu _ { 1 } ) ( X_ { n } – \ mu _ { n } ) ] \ \ \ \ \ mathrm { E } [ ( X_ { 2 } – \ mu _ { 2 } ) ( X_ { 1 } – \ mu _ { 1 } ) ] và \ mathrm { E } [ ( X_ { 2 } – \ mu _ { 2 } ) ( X_ { 2 } – \ mu _ { 2 } ) ] và \ cdots và \ mathrm { E } [ ( X_ { 2 } – \ mu _ { 2 } ) ( X_ { n } – \ mu _ { n } ) ] \ \ \ \ \ vdots và \ vdots và \ ddots và \ vdots \ \ \ \ \ mathrm { E } [ ( X_ { n } – \ mu _ { n } ) ( X_ { 1 } – \ mu _ { 1 } ) ] và \ mathrm { E } [ ( X_ { n } – \ mu _ { n } ) ( X_ { 2 } – \ mu _ { 2 } ) ] và \ cdots và \ mathrm { E } [ ( X_ { n } – \ mu _ { n } ) ( X_ { n } – \ mu _ { n } ) ] \ end { bmatrix } }. }

Ma trận hiệp phương sai là khái niệm rất quan trọng trong kinh tế tài chính lượng và ước đạt quy mô .

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn