• Mục lục
• Tính chất tổng quátSửa đổi
• Tính đối xứngSửa đổi
• Đa giác lồi đềuSửa đổi
• GócSửa đổi
• Đường chéoSửa đổi
• Diện tíchSửa đổi  Trung đoạn của lục giác đều
• Đa giác sao đềuSửa đổi  Hình sao 5 cánh {5/2}
• Tham khảoSửa đổi
• Xem thêmSửa đổi
• Liên kết ngoàiSửa đổi
• Video liên quan

Regular polygons cạnh và các đỉnh p Công thức Schläfli {p} CoxeterDynkin diagram

Nhóm đối xứng Dihedral symmetry (Dp) Dual polyhedron Self-dual Diện tích
(with t=edge length)  A = p t 2 4 tan ( π / p ) {\displaystyle A={\frac {pt^{2}}{4\tan(\pi /p)}}}

Độ lớn của một góc trong
(độ)  ( 1 2 p ) × 180 {\displaystyle \left(1-{\frac {2}{p}}\right)\times 180}

Tổng độ lớn của các góc trong
(độ)  ( p 2 ) × 180 {\displaystyle \left(p-2\right)\times 180}

Trong hình học Euclid, đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau.Đa giác đều được chia làm hai loại là: đa giác lồi đều và đa giác sao đều.

Mục lục

• 1 Tính chất tổng quát
• 1.1 Tính đối xứng
• 2 Đa giác lồi đều
• 2.1 Góc
• 2.2 Đường chéo
• 2.3 Diện tích
• 3 Đa giác sao đều
• 4 Tham khảo
• 5 Xem thêm
• 6 Liên kết ngoài

Tính chất tổng quátSửa đổi

Các tình chất này được vận dụng cho cả hình đa giác lồi đều và hình đa giác sao đều .Tất cả những đỉnh của đa giác túc tắc nằm trên một đường tròn. Chúng là những điểm đồng viên. Tất cả những đa giác túc tắc có một đường tròn ngoại tiếpCũng với đặc thù độ dài những cạnh của đa giác đều thì bằng nhau, kéo theo rằng toàn bộ những đa giác túc tắc có những đường tròn nội tiếp .Một đa giác đều n cạnh hoàn toàn có thể được dựng bằng compa và thước kẻ khi và chỉ khi những thừa số nguyên tố lẻ của n khác số nguyên tố Fermat .

Tính đối xứngSửa đổi

Nhóm đối xứng của đa giác đều là hình vuôngn D2, D3, D4, … Nó gồm có sự quay quanh tâm Cn ( tâm đối xứng ), cùng với tính đối xứng của n trục đi qua tâm này. Nếu n là chẵn thì 50% số trục đối xứng đi qua hai đỉnh đối nhau của đa giác và nửa còn lại đi qua trung điểm của hai cạnh đối. Nếu n là lẻ thì tổng thể những trục đới xứng đều đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối lập với đỉnh ấy .

Đa giác lồi đềuSửa đổi

Tất những đa giác đơn đều ( một đa giác đơn là một đa giác mà không tự cắt ) là những đa giác lồi đều. Các đa giác mà có cùng số đo những cạnh thì đồng dạng .Một đa giác lồi đều n cạnh được chỉ rõ bởi công thức Schläfli của nó : { n } .

• Đa giác đều 1 đỉnh: suy biến trong không gian bình thường {1}
• Nhị giác đều: một “đoạn thẳng đôi” – suy biến trong không gian bình thường {2}
• Tam giác đều {3}
• Hình vuông {4}
• Ngũ giác đều {5}
• Lục giác đều {6}
• Thất giác đều {7}
• Bát giác đều {8}
• Cửu giác đều {9}
• Thập giác đều {10}Tam giác đều   Các cạnh của tam giác đều Hình vuông   Tứ giác đều Ngũ giác đều   Cách vẽ hình ngũ giác đềuLục giác đều   Lục giác đều Thất giác đều   Cách vẽ hình 7 cạnh đều
• cách vẽ hình 7 cạnh đều

Trong một số ít thực trạng những đa giác đã được xét đến đều là những đa giác đều. Trong nhiều trường người ta thường bỏ chữ đều đi. Ví dụ như mọi mặt của đa diện đều hoàn toàn có thể là những hình đa giác đều như : tam giác đều, hình vuông vắn, ngũ giác đều, etc .

GócSửa đổi

Với một đa giác đều n đỉnh, số đo góc trong được tính bằng công thức : ( 1 2 n ) × 180 { \ displaystyle ( 1 – { \ frac { 2 } { n } } ) \ times 180 } ( hay bằng với ( n 2 ) × 180 n { \ displaystyle ( n-2 ) \ times { \ frac { 180 } { n } } } ) độ ,hay ( n 2 ) π n { \ displaystyle { \ frac { ( n-2 ) \ pi } { n } } } độ radian ,hay ( n 2 ) 2 n { \ displaystyle { \ frac { ( n-2 ) } { 2 n } } } tính theo vòng ,và với mỗi góc ngoài ( kề bù với góc trong ) được tính theo công thức 360 n { \ displaystyle { \ frac { 360 } { n } } } độ, với tổng của những góc ngoài bằng 360 độ hay 2 π độ radian hay vòng xoay .

Đường chéoSửa đổi

Với n > 2 { \ displaystyle n > 2 } số đường chéo là n ( n 3 ) 2 { \ displaystyle { \ frac { n ( n-3 ) } { 2 } } } \ n = 0, 2, 5, 9, … Chúng chia đa giác thành 1, 4, 11, 24, … phần .

Diện tíchSửa đổi  Trung đoạn của lục giác đều

Diện tích A của đa giác lồi đều n cạnh là :theo độ A = t 2 n 4 tan ( 180 n ) { \ displaystyle A = { \ frac { t ^ { 2 } n } { 4 \ tan ( { \ frac { 180 } { n } } ) } } } ,hay theo độ radian A = t 2 n 4 tan ( π n ) { \ displaystyle A = { \ frac { t ^ { 2 } n } { 4 \ tan ( { \ frac { \ pi } { n } } ) } } } ,với t là độ dài của một cạnh .Nếu biết nửa đường kính, hay độ dài đoạn thẳng nối tâm với một đỉnh, diện tích quy hoạnh là : tính theo độ A = n r 2 s i n ( 360 n ) 2 { \ displaystyle A = { \ frac { nr ^ { 2 } sin ( { \ frac { 360 } { n } } ) } { 2 } } }hay theo độ radian A = n r 2 s i n ( 2 π n ) 2 { \ displaystyle A = { \ frac { nr ^ { 2 } sin ( { \ frac { 2 \ pi } { n } } ) } { 2 } } } ,với r là độ lớn của nửa đường kínhĐồng thời, diện tích quy hoạnh cũng bằng nửa chu vi nhân với độ dài của trung đoạn, a, ( đoạn vuông góc hạ từ tâm của đa giác xuống một cạnh ). Vì vây ta có A = a. n. t / 2, với chu vi là n. t, và ở dạng đơn thuần hơn 50% p. a .Với cạnh t = 1, ta có :theo độ n 4 tan ( 180 n ) { \ displaystyle { \ frac { n } { 4 \ tan ( { \ frac { 180 } { n } } ) } } }hay theo độ radian ( n khác 2 ) n 4 cot ( π / n ) { \ displaystyle { \ frac { n } { 4 } } \ cot ( \ pi / n ) }giá trị được viết trong bảng sau : Số cạnh tên hình Diện tích đúng mực Xấp Xỉ 3 tam giác đều 3 4 { \ displaystyle { \ frac { \ sqrt { 3 } } { 4 } } } 0.433 4 hình vuông vắn 1 1.000 5 ngũ giác đều 1 4 25 + 10 5 { \ displaystyle { \ frac { 1 } { 4 } } { \ sqrt { 25 + 10 { \ sqrt { 5 } } } } } 1.720 6 lục giác đều 3 3 2 { \ displaystyle { \ frac { 3 { \ sqrt { 3 } } } { 2 } } } 2.598 7 thất giác đều 3.634 8 bát giác đều 2 + 2 2 { \ displaystyle 2 + 2 { \ sqrt { 2 } } } 4.828 9 cửu giác đều 6.182 10 thập giác đều 5 2 5 + 2 5 { \ displaystyle { \ frac { 5 } { 2 } } { \ sqrt { 5 + 2 { \ sqrt { 5 } } } } } 7.694 11 đa giác đều 11 đỉnh 9.366 12 đa giác đều 12 đỉnh 6 + 3 3 { \ displaystyle 6 + 3 { \ sqrt { 3 } } } 11.196 13 đa giác đều 13 đỉnh 13.186 14 đa giác đều 14 đỉnh 15.335 15 đa giác đều 15 đỉnh 15 4 7 + 2 5 + 2 15 + 6 5 { \ displaystyle { \ frac { 15 } { 4 } } { \ sqrt { 7 + 2 { \ sqrt { 5 } } + 2 { \ sqrt { 15 + 6 { \ sqrt { 5 } } } } } } } 17.642 16 đa giác đều 16 đỉnh 4 + 4 2 + 4 4 + 2 2 { \ displaystyle 4 + 4 { \ sqrt { 2 } } + 4 { \ sqrt { 4 + 2 { \ sqrt { 2 } } } } } 20.109 17 đa giác đều 17 đỉnh 22.735 18 đa giác đều 18 đỉnh 25.521 19 đa giác đều 19 đỉnh 28.465 20 đa giác đều 20 đỉnh 5 + 5 5 + 5 5 + 2 5 { \ displaystyle 5 + 5 { \ sqrt { 5 } } + 5 { \ sqrt { 5 + 2 { \ sqrt { 5 } } } } } 31.569 100 đa giác đều 100 đỉnh 795.513 1000 đa giác đều 1000 đỉnh 79577.210 10000 đa giác đều 10000 đỉnh 7957746.893The amounts that the areas are less than those of circles with the same perimeter, are ( rounded ) equal to 0.26, for n < 8 a little more ( the amounts decrease with increasing n to the limit π / 12 ) .

Đa giác sao đềuSửa đổi  Hình sao 5 cánh {5/2}

Một đa giác đều không lồi là một đa giác sao đều. Ví dụ phổ biến nhất là hình sao 5 cánh, có cùng số đỉnh với ngũ giác đều, nhưng có cách nối các đỉnh khác.

Với một đa giác sao n cạnh, công thức Schläfli được sửa cho phù hợp với dạng hình sao m của đa giác, ví dụ như {n/m}. Nếu m bằng 2, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 2 đỉnh. Nếu m bằng 3, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 3 đỉnh. Đường biên của đa giác đi quanh tâm m lần, và m đôi khi còn được gọi là mật độ của đa giác sao đều.

Một vài ví dụ :

• Sao 5 cánh đều- {5/2}
• Sao 7 cánh đều- {7/2} và {7/3}
• Sao 8 cánh đều- {8/3}
• Sao 9 cánh đều- {9/2} và {9/4}
• Sao 10 cánh đều- {10/3}
• Sao 11 cánh đều- {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}

m và n phải nguyên tố cùng nhau, hoặc hình sẽ suy biến. Phụ thuộc vào nguồn gốc rõ ràng của công thức Schläfli, có nhiều những quan điểm sự không tương đồng về những hình suy biến. Ví dụ như { 6/2 } hoàn toàn có thể được hiểu theo 2 cách :

• Vào thế kỉ 20, người ta thường cho rằng dựng hình {6/2} bằng cách nối mỗi đỉnh của đa giác lồi đều {6} với các đỉnh cách nó 2 đỉnh, và tạo thành một đa giác kép tạo bởi 2 tam giác đều, hay gọi là hình sao 6 cánh đều.
• Many modern geometers, such as Grünbaum (2003), regard this as incorrect. They take the /2 to indicate moving two places around the {6} at each step, obtaining a “double-wound” triangle that has two vertices superimposed at each corner point and two edges along each line segment. Not only does this fit in better with modern theories of abstract polytopes, but it also more closely copies the way in which Poinsot (1809) created his star polygons – by taking a single length of wire and bending it at successive points through the same angle until the figure closed.

Tham khảoSửa đổi

• Coxeter, H. S. M. (1948), Regular Polytopes, Methuen and Co.
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, Ed. Aronov et. al., Springer (2003), pp.461488.
• Poinsot, L.; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l’École Polytechnique 9 (1810), pp.1648.

Xem thêmSửa đổi

• Đường tròn
• Đa diện đều
• Đa diện đều n chiều
• Mặt cầu

Liên kết ngoàiSửa đổi

• Weisstein, Eric W., “Regular polygon”, MathWorld.
• Regular Polygon description With interactive animation
• Incircle of a Regular Polygon With interactive animation
• Area of a Regular Polygon Three different formulae, with interactive animation
• Renaissance artists’ constructions of regular polygonsat

Video liên quan