Nhắc đến tính chất đường trung tuyến, ắt hẳn vẫn còn nhiều bạn học sinh chưa nắm vững được kiến thức quan trọng này. Đừng quá lo lắng, bài viết sau của GiaiNgo chính là dành cho bạn. Cùng đi tìm hiểu tất cả thông tin, bài tập về tính chất đường trung tuyến nhé!
Nội dung chính
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Trung điểm là điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau .
Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối lập. Mỗi tam giác đều có ba đường trung tuyến .Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi những góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau .
Tính chất đường trung tuyến của tam giác
Tính chất đường trung tuyến của tam giác là một phần kiến thức và kỹ năng quan trọng để vận dụng trong nhiều bài tập hình học. Cùng ôn lại đường trung tuyến của tam giác có những tính chất cơ bản gì nhé !
Đồng quy tại 1 điểm
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng chừng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy .
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm
Ví dụ : Tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, AC, AB và G là trọng tâm .
Vị trí trọng tâm của tam giác
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng chừng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy .
Chia thành các tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau
Mỗi đường trung tuyến chia diện tích quy hoạnh của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích quy hoạnh bằng nhau .
Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt
Không chỉ ở tam giác thường mà ở tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng có tính chất của đường trung tuyến. Vậy tính chất đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt quan trọng là gì ? Cùng GiaiNgo ôn tập nhé !
Đường trung tuyến trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền .
trái lại, một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh mà bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông .
Ví dụ:
Tam giác ΔABC vuông ở A ( như hình ) .Độ dài đường trung tuyến AD sẽ bằng DB, DC và bằng 50%. BC .
trái lại nếu AD = 50%. BC thì tam giác ΔABC sẽ vuông ở A .
Đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
Trong tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và nó chia tam giác lớn thành hai tam giác nhỏ bằng nhau .
Ví dụ:
Tam giác đều ΔABC có AD, BF, CE lần lượt là ba đường trung tuyến của tam giác ( như hình ) .Theo tính chất của đường trung tuyến trong tam giác đều ta có :AD ⊥ BC ; BF ⊥ AC ; CE ⊥ ABvà ΔABD = ΔADC ; ΔABF = ΔFBC ; ΔAEC = ΔECB .
Một số công thức liên quan đến độ dài trung tuyến
Sau khi đã hiểu được định nghĩa về tính chất đường trung tuyến thì bạn cần nắm được công thức tính độ dài đường trung tuyến để làm tốt những bài tập nhé. Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính trải qua độ dài những cạnh của tam giác .Sử dụng định lý Apollonius để tính độ dài của trung tuyến như sau :
Trong đó:
-
- a, b, c: là các cạnh của tam giác.
-
- ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác ứng với các cạnh a, b, c.
Một số dạng bài liên quan đến tính chất đường trung tuyến
Liên quan đến tính chất đường trung tuyến, GiaiNgo sẽ tổng hợp một số ít dạng bài tương quan để giúp bạn rèn luyện và mạng lưới hệ thống lại kiến thức và kỹ năng nhé !
Dạng 1 : Tìm tỉ lệ giữa những cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng
Với dạng toán này, bạn cần tập trung chuyên sâu vào vị trí trọng tâm của tam giác và vận dụng định lý :Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó .Với G là trọng tâm của tam giác ABC với AD, BE và CF lần lượt là 3 trung tuyến, lúc này ta có :
Bài tập ví dụ:
Bài 1:
Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9 cm và trọng tâm G. Tính độ dài đoạn thẳng AG ?
Lời giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên :AG = 2/3 AM ( tính chất ba đường trung tuyến của tam giác )Do đó : AG = 2/3. 9 = 6 cmVậy AG = 6 cm .
Bài 2:
Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Trên cạnh AG lấy điểm G ’ sao cho G là trung điểm của đoạn AG ’. Yêu cầu so sánh :a. Những cạnh của tam giác BGG ’ với những đường trung tuyến của tam giác ABC .b. Những đường trung tuyến của tam giác BGG ’ với những cạnh của tam giác ABC .
Lời giải:
a. Ta có BG cắt AC tại điểm N, CG cắt AB tại điểm E và G là trọng tâm của tam giác ABC.
⇒ GA = 2/3 AMVì G là trung điểm của AG ’ ⇒ GA = GG ’Suy ra : GG ’ = 2/3 AM
Theo giả thuyết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC⇒ GB = 2/3 BNMặt khác : GM = 1/2 AG ( vì G là trọng tâm )AG = GG ‘ ⇒ GM = 1/2 GG ’M là trung điểm của đoạn GG ’
Vì GM = MG ’ và MB = MC ⇒ Tam giác GMC = tam giác G’MBSuy ra : BG ’ = CGMà CG = 2/3 CE ( G là trọng tâm của tam giác ABC )⇒ BG ‘ = 2/3 CEVậy mỗi cạnh của tam giác BGG ’ bằng 2/3 những đường trung tuyến của tam giác ABC .
b. Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác BGG’
Mà điểm M lại là trung điểm của đoạn BC nên BM = 1/2 BCI là trung điểm của BG ⇒ IG = 1/2 BG
G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ GN = 1/2 BG
Xem thêm: Tam giác.
Suy ra : IG = GN
⇒ Tam giác IGG ’ = tam giác NGA theo trường hợp cạnh – góc – cạnh⇒ IG ‘ = AN => IG ’ = 1/2 ACGọi K là trung điểm của đoạn BG ⇒ GK là trung tuyến của tam giác BGG ’Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ GE = 1/2 GCMà K là trung điểm của BG ’ ⇒ KG ” = EG
Vì tam giác GMC = tam giác G’BM ( chứng tỏ trên )⇒ Tam giác GCM = tam giác G’BM theo trường hợp góc so le trong⇒ CE / / BG ⇒ tam giác AGE = tam giác AG’B theo trường hợp đồng vịDo đó tam giác AGE = tam giác GG’K ( c. g. c ) ⇒ AE = GKMà AE = 1/2 AB nên GK = 1/2 ABVậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG ’ bằng ½ những cạnh của tam giác ABC .
Bài 3:
Cho tam giác ABC có những đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh BC biết BD = 9 cm và CE = 12 cm .
Lời giải:
Bài 4:
Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến AA1 và BB1 cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích quy hoạnh tam giác ABC nếu diện tích quy hoạnh tam giác ABO bằng 5 cm2 .
Lời giải:
Ta có :
Bài 5:
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH .Trong những chứng minh và khẳng định sau đây, chứng minh và khẳng định nào đúng ?
Lời giải:
Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt
Đây là dạng toán đường trung tuyến ở những tam giác đặc biệt quan trọng như tam giác cân, tam giác đều hay tam giác vuông. Khi gặp dạng toán như này, bạn cần quan tâm vận dụng tính chất đường trung tuyến như sau :
- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
- Trong tam giác cân và tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
Bài tập ví dụ:
Bài 1:
Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC .
Lời giải:
Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC .Ta có :
- AD là đường trung tuyến trong tam giác ABC nên GA = ⅔. AD (1)
- BF là đường trung tuyến trong tam giác ABC nên GB = ⅔. BF (2)
- CE là đường trung tuyến trong tam giác ABC nên GC = ⅔. CE (3)
Vì ΔABC đều nên AD = BF = CE ( 4 )
Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) suy ra GA = GB = GC
Bài 2:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC .
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC
Suy ra : AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 50% cạnh huyền
Nên AM=1/2. BC
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2/3. AM = 2/3. 2,5 = 1,7 cmVậy AG = 1,7 cm .
Bài 3:
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DIa ) Chứng minh ∆ DEI = ∆ DFIb ) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì ?c ) Biết DE = DF = 13 cm, EF = 10 cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI .
Lời giải:
a) ∆DEI = ∆DFI có:
DI là cạnh chungDE = DF ( ∆ DEF cân )IE = IF ( DI là trung tuyến )
⇒ ∆ DEI = ∆ DFI ( c. c. c )b ) Vì ΔDEI = ΔDFI ⇒ ∠ DIE = ∠ DIFMà ∠ BID + ∠ DIF = 180 độ ( kề bù )Nên ∠ DIE = ∠ DIF = 90 độ
c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC = 16 cm. Kẻ trung tuyến AM .a ) Chứng minh : AM ⊥ BC ;b ) Tính độ dài AM .
Lời giải:
a) Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MC
Mặt khác tam giác ABC cân tại A⇒ AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao .
Vậy AM ⊥ BC
b) Ta có:
BC = 16 cm nên BM = MC = 8 cmAB = AC = 17 cmXét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng Định lý Pitago có:
Như vậy qua bài viết ngày hôm nay, GiaiNgo đã cùng bạn ôn tập về kim chỉ nan và bài tập tính chất đường trung tuyến. Hy vọng bài viết trên hoàn toàn có thể giúp ích cho bạn học tập hiệu suất cao hơn. Hẹn gặp lại bạn với những thông tin mê hoặc khác !
Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn