1. Trung bình mẫu

Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n, được xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên \(W_X = (X_1, X_2,…, X_n).\)

Trung bình mẫu ngẫu nhiên ( ký hiệu là \ ( \ overline X \ ) ) được định nghĩa :

\(\overline X = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} \)

Do X1, X2, … Xn là những đại lượng ngẫu nhiên, theo định nghĩa trên thì \ ( \ overline X \ ) là hàm của n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, … Xn nên \ ( \ overline X \ ) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên .
Nếu có mẫu đơn cử : WX = ( X1, X2, …, Xn ) thì ta sẽ tính được giá trị của \ ( \ overline X \ ) ( ký hiệu là \ ( \ overline x \ ) ) .
\ ( \ overline x \ ) được tính theo công thức :
\ ( \ overline x = \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { x_i } } \ )
Như vậy \ ( \ overline x \ ) là một giá trị của \ ( \ overline X \ ), đồng thời là trung bình của mẫu đơn cử \ ( W_X = ( X_1, X_2, …, X_n ) \ )

Tính chất: Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán: \(E(X) = \mu \)

và phương sai : \ ( V { \ rm { ar } } ( X ) = { \ sigma ^ 2 } \ )
thì : \ ( E ( \ overline X ) = \ mu \ ) và \ ( V { \ rm { ar } } ( \ overline X ) = { \ sigma ^ 2 } / n \ )
Thật vậy, theo đặc thù của kỳ vọng toán, ta có :
\ ( E \ left ( { \ overline X } \ right ) = E \ left ( { \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { X_i } } } \ right ) = \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { E \ left ( { { X_i } } \ right ) } = \ frac { 1 } { n }. n. \ mu = \ mu \ )
Để ý rằng những đại lượng ngẫu nhiên Xi độc lập, có cùng phân phối Xác Suất với đại lượng ngẫu nhiên gốc X .
Theo đặc thù của phương sai thì :
\ ( V { \ rm { ar } } \ left ( { \ overline X } \ right ) = V { \ rm { ar } } \ left ( { \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { X_i } } } \ right ) = \ frac { 1 } { { { n ^ 2 } } } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { V { \ rm { ar } } \ left ( { { X_i } } \ right ) } = \ frac { 1 } { { { n ^ 2 } } }. n. { \ sigma ^ 2 } = \ frac { { { \ sigma ^ 2 } } } { n } \ )
Như vậy, bất kể qui luật phân phối Tỷ Lệ của đại lượng ngẫu nhiên gốc như thế nào, thống kê \ ( { \ overline X } \ ) cũng có kỳ vọng toán bằng kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên gốc \ ( [ E ( X ) = E ( { \ overline X } ) ] \ ). Còn phương sai của \ ( { \ overline X } \ ) nhỏ hơn phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc n lần. Nghĩa là những giá trị hoàn toàn có thể có của \ ( { \ overline X } \ ) không thay đổi quanh kỳ vọng hơn những giá trị hoàn toàn có thể có của X .
Nếu lấy căn bậc hai của \ ( var ( { \ overline X } ) \ ) thì ta sẽ được độ lệch chuẩn \ ( \ sigma ( \ bar X ) \ ) phản ánh sai số ước đạt do đó người ta thường gọi nó là sai số chuẩn, ký hiệu là \ ( se ( { \ overline X } ) \ ). Vậy :
\ ( se ( \ bar X ) = \ sigma ( \ bar X ) = \ sqrt { v { \ rm { ar } } ( \ bar X ) } = \ frac { \ sigma } { { \ sqrt n } } \ )
Ở trên ta luôn giả thiết rằng mẫu được rút ra từ tổng thể và toàn diện theo phương pháp có hoàn trả. Nếu kích cỡ tổng thể và toàn diện là vô hạn hoặc size tổng thể và toàn diện là hữu hạn nhưng n > 0,1 N thì hoàn toàn có thể lấy mẫu không hoàn trả mà không ảnh hưởng tác động đến hiệu quả. Trường hợp n
\ ( v { \ rm { ar } } \ left ( { \ overline X } \ right ) = \ frac { { N – n } } { { N – 1 } }. \ frac { { { \ sigma ^ 2 } } } { n } \ ) và \ ( se \ left ( { \ overline X } \ right ) = \ sqrt { \ frac { { N – n } } { { N – 1 } }. \ frac { { { \ sigma ^ 2 } } } { n } } \ )

Thí dụ: Xem tổng thể là tập hợp gồm 5 công ty A, B, C, D, E với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) lần lượt là: 29, 31, 32, 33, 36. Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 4 từ tổng thể này. Tính kỳ vọng toán và phương sai của trung bình mẫu ngẫu nhiên trong hai trường hợp:

a – Chọn mẫu có lặp ; b – Chọn mẫu không lặp .

Giải:

Trường hợp chọn mẫu có lặp :
Gọi X là doanh thu của một công ty chọn ngẫu nhiên từ tổng thể và toàn diện gồm 5 công ty A, B, C, D, E. Phân phối Xác Suất của X như sau :

Từ bảng phân phối Phần Trăm của đại lượng ngẫu nhiên X, ta tính được :
\ ( E ( X ) = 0,2 ( 29 + 31 + 32 + 33 + 36 ) = 32,2 \ )
\ ( Var ( X ) = 0,2 ( 29 ^ 2 + 31 ^ 2 + 32 ^ 2 + 33 ^ 2 + 36 ^ 2 ) – ( 32,2 ) ^ 2 = 5,36 \ )
Vậy :
\ ( E ( { \ overline X } ) = E ( X ) = 32,2 ; \, \, \, var ( { \ overline X } ) = 5,36 / 4 = 1,34 \ )

Trường hợp chọn mẫu không lặp:

Có \ ( C_5 ^ 4 = 5 \ ) cách chọn mẫu. Các trường hợp hoàn toàn có thể xảy ra, giá trị trung bình mẫu ( X ) hoàn toàn có thể nhận và những Phần Trăm tương ứng được cho ở bảng sau :

Từ hiệu quả của bảng trên, ta tính được :
\ ( E ( \ overline X ) = 0,2 ( 31,25 + 32 + 32,5 + 32,25 + 33 ) = 32,2 \ )
\ ( Var ( \ overline X ) = 0,2 [ ( 31,25 ) ^ 2 + ( 32 ) ^ 2 + ( 32,5 ) ^ 2 + ( 32,25 ) ^ 2 + ( 33 ) ^ 2 ] – ( 32,2 ) ^ 2 = 0,335 \ )
ta cũng hoàn toàn có thể tìm được tác dụng trên bằng cách vận dụng công thức :
\ ( v { \ rm { ar } } \ left ( { \ overline X } \ right ) = \ frac { { N – n } } { { N – 1 } }. \ frac { { { \ sigma ^ 2 } } } { n } = \ left ( { \ frac { { 5 – 4 } } { { 5 – 1 } } } \ right ). \ frac { { 5,36 } } { 4 } = 0,335 \ )

Phân phối xác suất của \({\overline X }\)

Phân phối Phần Trăm của trung bình mẫu phụ thuộc vào vào phân phối Phần Trăm của đại lượng ngẫu nhiên gốc. Người ta đã chứng tỏ được rằng : Nếu X có
phân phối chuẩn \ ( N ( \ mu ; { \ sigma ^ 2 } ) \ ) thì \ ( \ overline X \ ) có phân phối chuẩn \ ( N ( \ mu ; { \ sigma ^ 2 / n } ) \ )

2. Phương sai mẫu

Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên WX = (X1, X2….. Xn)

Phương sai của nó ( ký hiệu là S2 ) được định nghĩa :
\ ( { S ^ 2 } = \ frac { 1 } { { n – 1 } } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { { ( { X_i } – \ overline X ) } ^ 2 } } \ )
Trong đó \ ( \ overline X \ ) là trung bình của mẫu ngẫu nhiên .

Chú ý: Theo định nghĩa trên, ta thấy phương sai mẫu ngẫu nhiên là hàm của n đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,. .., Xn nên S2 cũng là một đại lượng ngẫu nhiên.

Nếu có mẫu đơn cử : WX = ( x1, x2, …, xn ) thì S2 sẽ nhận giá trị :

\({S^2} = \frac{1}{{n – 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} – \overline x )}^2}} \)

s2 gọi là phương sai của mẫu đơn cử .

Tính chất của S2

Do S2 là đại lượng ngẫu nhiên nên ta hoàn toàn có thể tính E ( S2 ) .
Giả sử : \ ( E ( X ) = \ mu ; \, \, V { \ rm { ar } } ( X ) = { \ sigma ^ 2 } \ )
Tacó :
\ ( \ begin { array } { l } { ( { X_i } – \ overline X ) ^ 2 } = { \ left [ { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) – \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) } \ right ] ^ 2 } \ \ = { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) ^ 2 } – 2 \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ). \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) + { \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) ^ 2 } \ end { array } \ )
Do đó :
\ ( \ frac { 1 } { n } { \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ left ( { { X_i } – \ overline X } \ right ) } ^ 2 } = \ frac { 1 } { n } { \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } ^ 2 } – 2 \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ). \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } + { \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) ^ 2 } \ )
Vì : \ ( \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } = \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { X_i } – \ mu = } \ overline X – \ mu \ )
Nên : \ ( 2 \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ). \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } = 2 { \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) ^ 2 } \ )
Do đó :
\ ( \ frac { 1 } { n } { \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ left ( { { X_i } – \ overline X } \ right ) } ^ 2 } = \ frac { 1 } { n } { \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } ^ 2 } – { \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) ^ 2 } \ )
\ ( E ( { S ^ 2 } ) = E \ left [ { \ frac { 1 } { { n – 1 } } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { { \ left ( { { X_i } – \ overline X } \ right ) } ^ 2 } } } \ right ] = E \ left \ { { \ frac { n } { { n – 1 } } \ left [ { \ frac { 1 } { { n – 1 } } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { { \ left ( { { X_i } – \ overline X } \ right ) } ^ 2 } } } \ right ] } \ right \ } \ )
\ ( = \ frac { n } { { n – 1 } } E \ left [ { \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { { { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } ^ 2 } – { { \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) } ^ 2 } } } \ right ] \ )
\ ( = \ frac { n } { { n – 1 } } \ left \ { { \ frac { 1 } { n } \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { E { { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } ^ 2 } – E \ left [ { { { \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) } ^ 2 } } \ right ] } } \ right \ } \ )
Vì :
\ ( E ( { X_i } ) = \ mu ( \ forall i ) \ ) nên \ ( E { ( { X_i } – \ mu ) ^ 2 } = V { \ rm { ar } } ( { X_i } ) = V { \ rm { ar } } ( X ) = { \ sigma ^ 2 } \ )
\ ( E ( \ overline X ) = \ mu \ ) nên \ ( E \ left [ { { { \ left ( { \ overline X – \ mu } \ right ) } ^ 2 } } \ right ] = V { \ rm { ar } } \ left ( { \ overline X } \ right ) = { \ sigma ^ 2 } / n \ )
Do đó :
\ ( E ( { S ^ 2 } ) = \ frac { n } { { n – 1 } } \ left ( { \ frac { 1 } { n }. n. { \ sigma ^ 2 } – \ frac { { { \ sigma ^ 2 } } } { n } } \ right ) = \ frac { n } { { n – 1 } } \ left ( { \ frac { { n – 1 } } { n } { \ sigma ^ 2 } } \ right ) = { \ sigma ^ 2 } \ )
Như vậy, kỳ vọng toán của phương sai mẫu bằng phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc X .

Định lý 1:

Giả sử \ ( X \ sim N \ left ( { \ mu, { \ sigma ^ 2 } } \ right ) \ ) và Wx = ( X1, X2, …. Xn ) là mẫu ngẫu nhiên size n được xây dựng từ X. Khi đó :

• \ ( \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ n { \ frac { { { { \ left ( { { X_i } – \ mu } \ right ) } ^ 2 } } } { { { \ sigma ^ 2 } } } } \ sim { \ chi ^ 2 } ( n ) \ ) \ ( \ frac { { ( n – 1 ) { S ^ 2 } } } { { { \ sigma ^ 2 } } } \ sim { \ chi ^ 2 } ( n – 1 ) \ )

Định lý 2:

\ ( X \ sim N \ left ( { \ mu, { \ sigma ^ 2 } } \ right ) \ ) thì \ ( \ frac { { \ overline X – \ mu } } { { S / \ sqrt n } } \ sim T ( n – 1 ) \ )

Thí dụ: Quan sát số con ưong một gia đình ở một khu đô thị mới. Gọi X là số con trong một hộ gia đình. Cho biết bảng phân phối xác suất của X như sau:

Từ bảng phân phối Tỷ Lệ của X ta thuận tiện tính được \ ( E ( X ) = \ mu = 1,3 \ ) và \ ( Var ( X ) – \ sigma ^ 2 = 0,61 \ )
Gọi Wx = ( X1, X2 ) là mẫu ngẫu nhiên 2 chiều được xây dựng từ X. Các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2 độc lập, có phân phối Tỷ Lệ giống X .
Đối với mẫu này, ta có phương sai mẫu :
\ ( { S ^ 2 } = \ frac { 1 } { { 2 – 1 } } \ left [ { { { \ left ( { { X_1 } – \ overline X } \ right ) } ^ 2 } + { { ( { X_2 } – \ overline X ) } ^ 2 } } \ right ] \ )
Bảng sau đây liệt kê những giá trị của S2 và những Phần Trăm tương ứng .

Trong bảng trên, những Phần Trăm tương ứng được tính như sau :
\ ( P. ( X_1 = 0, X_2 = 0 ) = P ( X_1 = 0 ) P. ( X_2 = 0 ) = 0,2 x 0,2 = 0,04 \ )
\ ( P. ( X_1 = 0, X_2 = 1 ) = P ( X_1 = 0 ) P. ( X_2 = 1 ) = 0,2 x 0,3 = 0,06 \ )
… .
Bảng phân phối Xác Suất của S2 :

Vậy : E ( S2 ) = 0 x 0,38 + 0,5 x 0,42 + 2 x 0,2 = 0,61 = \ ( { \ sigma ^ 2 } \ )

3. Độ lệch chuẩn mẫu

Độ lệch chuẩn của mẫu ngẫu nhiên ( ký hiệu là S ) là căn bậc hai của phương sai mẫu : \ ( S = \ sqrt { { S ^ 2 } } \ )
Nếu có mẫu đơn cử thì độ lệch chuẩn của mẫu đơn cử này là một giá trị của S ( ký hiệu là s ) : \ ( s = \ sqrt { { s ^ 2 } } \ )

4. Tỷ lệ mẫu

Từ một toàn diện và tổng thể gồm N thành phần, trong đó có M thành phần có đặc thù A. Ta lấy ngẫu nhiên n thành phần vào mẫu ( lấy theo phương pháp có hoàn trả ). Gọi Xi ( i = 1,2, …. n ) là số thành phần có đặc thù A trong lần lấy thành phần thứ i vào mẫu. Xi ( i = 1, 2, …, n ) là những đại lượng ngẫu nhiên chỉ hoàn toàn có thể nhận một trong hai giá trị : Xi nhận giá trị 0 nếu thành phần thứ i lấy vào mẫu không có đặc thù A ; Xi nhận giá trị 1 nếu thành phần thứ i lấy vào mẫu có đặc thù A .
Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên ( ký hiệu F ) được định nghĩa như sau :

\(F = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} \)

Trong đó nA là tổng số thành phần có đặc thù A có trong mẫu đơn cử ; n là kích cỡ mẫu .
Như vậy f là giá trị của F và cũng là tỷ suất những thành phần có đặc thù A của mẫu đơn cử .
Trên đây là nội dung bài giảngBài 3 : Các tham số đặc trưng của mẫu mà eLib. việt nam muốn san sẻ đến những bạn sinh viên. Hy vọng đây sẽ là tư liệu có ích giúp những bạn nắm được nội dung bài học kinh nghiệm tốt hơn. Chúc những bạn học tốt .

Source: http://139.180.218.5
Category: tản mạn